AMIGOS PARA SIEMPRE: física

Los coeficientes de Fresnel (en honor al físico francés Augustin Fresnel) son unos parámetros que permiten medir la relación entre los campos eléctricos transmitido y reflejado cuando una onda experimenta un cambio en las propiedades del medio por el que se propaga.

Cuando una onda electromagnética incide en la interfaz, o superficie de separación entre dos medios con distintos índices de refracción (

n_{i}

n_{t}

), una parte se transmitirá y otra se reflejará en el mismo. Sí el ángulo de incidencia es

\theta_{i}

\mu_{i}

, sabemos que:

\theta_{i}=\theta_{r}

es decir que el ángulo de incidencia es igual al de reflexión. Por la ley de Snell, tenemos que

n_{i}\sin{\theta_{i}}=n_{t}\sin{\theta_{t}}

es decir que el ángulo de transmisión a través del nuevo material dependerá de los coeficientes de refracción

n = \sqrt{\frac{\epsilon \mu}{\epsilon_{0} \mu_{0}}}

de ambos materiales y del ángulo de incidencia.

Se define el coeficiente de reflexión como la razón entre el campo eléctrico reflejado por el incidente:

r=\frac{E_{r}}{E_{i}}

Se define el coeficiente de transmisión la razón entre el campo eléctrico transmitido por el incidente:

t=\frac{E_{t}}{E_{i}}

La transmisión y la reflexión dependen de la polaridad de la onda al traspasar el medio (esto se debe a como interactúa la onda plana con la interfaz), por lo que los coeficientes de Fresnel serán perpendiculares al plano de incidencia (plano por el cual viaja la onda y perpendicular a la interfaz) y paralelos al plano de incidencia.

Coeficientes paralelos:

r_{\|}=\frac{\frac{n_{t}}{\mu_{t}}\cos \theta_{i}-\frac{n_{i}}{\mu_{i}}\cos \theta_{t}}{\frac{n_{i}}{\mu_{i}}\cos \theta_{t}+\frac{n_{t}}{\mu_{t}}\cos \theta_{i}}

t_{\|}=\frac{2\frac{n_{i}}{\mu_{i}}\cos \theta_{i}}{\frac{n_{i}}{\mu_{i}}\cos \theta_{t}+\frac{n_{t}}{\mu_{t}}\cos \theta_{i}}

Coeficientes perpendiculares:

r_{\bot}=\frac{\frac{n_{i}}{\mu_{i}}\cos \theta_{i}-\frac{n_{t}}{\mu_{t}}\cos \theta_{t}}{\frac{n_{i}}{\mu_{i}}\cos \theta_{i}+\frac{n_{t}}{\mu_{t}}\cos \theta_{t}}

t_{\bot}=\frac{2\frac{n_{i}}{\mu_{i}}\cos \theta_{i}}{\frac{n_{i}}{\mu_{i}}\cos \theta_{i}+\frac{n_{t}}{\mu_{t}}\cos \theta_{t}}

Donde los subíndices t/i indican las onda transmitida/incidente o el segundo medio/primer medio según se aplique a ángulos o índices de refracción así como permeabilidades magnéticas, respectivamente.

Basta con combinar ambos para tener una onda cualquiera interactuando en una interfaz.

Los coeficientes de Fresnel (MatLab)

Como sabemos de la teoría, la ley de Snell nos da información sobre el ángulo al que la luz se refleja; pero no nos dice nada de cuanta intensidad de luz se refleja y cuanta se refracta. De ahí la utilidad de los coeficientes de Fresnel.
En la práctica, estamos interesados más en el coeficiente de reflexión que el de transmisión debido a que la luz dentro de la fibra óptica se propaga por medio de reflexión total interna (TIR). De momento, debemos tener claro que cuando la luz cambia de un material más denso a uno de menor densidad (n1>n2), dependiendo del ángulo de incidencia en la frontera, se podrá obtener reflexión total interna.
El ángulo crítico es el ángulo incidente en la frontera de dos materiales para el cual toda la luz se refleja y nada se refracta fuera del material más denso. Cuando el ángulo de incidencia es mayor al ángulo crítico entonces tendremos TIR, y habremos confinado la luz.
Las coeficientes de Fresnel predicen algunos datos importantes para lograr reflexión total interna. El campo eléctrico es un vector, por lo que es descompuesto en una componente transversal (transversal eléctrico) y una paralela (transversal magnético) al plano de incidencia. Por este motivo, existen dos coeficientes de reflexión y doscoeficientes de transmisión de Fresnel, los cuales son números complejos y son la relación entre la onda reflejada y la incidente en el caso de la reflexión, y la refractada y la incidente en el caso de la transmisión.
Cuando el ángulo incidente es menor al ángulo crítico parte de la luz se refleja y parte se refracta, por lo tanto las magnitudes de los coeficientes de reflexión serán menores que uno, pues sólo una parte de la luz incidente se reflejará.
Pero del ángulo crítico en adelante toda la luz se refleja, por tanto los coeficientes de reflexión tendrán magnitud uno, pero empezarán a cambiar de fase, es decir, luego del ángulo crítico la onda reflejada ya no estará en fase con la onda incidente.
Existe un ángulo para el cual el coeficiente de reflexión de transversal magnético es cero, esto implica que a ese ángulo toda la onda reflejada tiene un campo eléctrico que es perpendicular al plano de incidencia, la luz reflejada estará completamente polarizada, por eso a este ángulo se lo denomina ángulo de polarización.
Script en MatLab
En el script podrás ver las gráficas de los coeficientes de transmisión y reflexión ingresando los índices de refracción de los dos materiales de la frontera. Podrás ver donde está el ángulo de polarización, el ángulo crítico, para varios materiales. El script principal es fresnel.m, ese es el que debes correr; los demás (menu_fresnel.m, marquilla0.m, marquilla1.m) también debes de guardarlos junto al principal y tenerlos todos dentro de una misma carpeta.

Coeficientes de reflexión de Fresnel desde sílice (n1) hacia aire (n2)Coeficientes de Fresnel de reflexión desde sílice (n1) hacia aire (n2)

Coeficientes de Fresnel de reflexión desde sílice (n1) hacia aire (n2)

A continuación te dejo los enlaces en 4shared para descargarlos, ya que no los pude subir a este blog. Recuerda, debes

**Figura 2.8:** Fórmulas de Fresnel. Campo E paralelo al plano de incidencia
$\includegraphics[width=10cm]{fres2db.eps}$

Consideremos el primero caso, indicado en la figura 2.8. Tomemos la proyección del campo eléctrico sobre el plano

. La dirección del campo magnético queda definida por la relación ${\vec H} = n {\vec s} \wedge {\vec E}$ . Puesto que no hay otros campos presentes en el problema que puedan modificar la dirección de los campos, las direcciones de éstos son las que se muestran en la figura 2.8. El sentido del campo eléctrico es tal que la componente

sea positiva. Los campos se escriben de la manera siguiente

$\displaystyle {\vec E_{\vert\vert}} = {\vec A_{\vert\vert}} \exp (ip(ct - n {\vec r}{\vec s}))$	(2.36)
$\displaystyle {\vec E_{\vert\vert}''} = {\vec A_{\vert\vert}''} \exp (ip''(ct - '{\vec r''}{\vec s'}))$
$\displaystyle {\vec E_{\vert\vert}'} = {\vec A_{\vert\vert}'} \exp (ip'(ct - {\vec r'}{\vec s''})) \vspace{5mm}$ .

Para simplificar la nomenclatura escribiremos los módulos de la siguiente manera $A_{\vert\vert}=\Vert{\vec A_{\vert\vert}}\Vert$ , $A_{\vert\vert}'=\Vert{\vec A_{\vert\vert}}'\Vert$ y $A_{\vert\vert}''= \Vert{\vec A_{\vert\vert}''}\Vert$ . Para deducir la relación entre las amplitudes, operaremos de la manera siguiente:

Se proyecta la componente tangencial del campo eléctrico y se aplica la condición de continuidad.
Se proyecta la componente tangencial del campo magnético y se aplica la condición de continuidad.
Se escribe el campo magnético en términos del campo eléctrico. De esta manera se obtiene un sistema de ecuaciones lineal con dos incógnitas ( $A_{\vert\vert}'$ y $A_{\vert\vert}''$ ), la solución del cual es

$\begin{displaymath} A_{\vert\vert}' = A_{\vert\vert} \frac{2 \sin(\epsilon') \c... ...psilon' + \epsilon)\cos(\epsilon'-\epsilon)} \vspace{5mm} \end{displaymath}$ (2.37)

$\begin{displaymath} A {\vert\vert}'' = A {\vert\vert} \frac{\tan(\epsilon'-\epsilon)}{\tan(\epsilon'+\epsilon)} \vspace{5mm} \end{displaymath}$ . (2.38)

2.3.2.2 Campo E perpendicular al plano de incidencia $\vec E_{\perp}$

El segundo caso a considerar es análogo al anterior, pero ahora el campo eléctrico es perpendicular al plano

, según se indica en la figura 2.9. El campo eléctrico se ha tomado en el sentido positivo del eje

. Operando de la misma forma que en el caso anterior, se obtiene la relación entre la amplitud de los campos eléctricos transmitido y reflejado en función del incidente, para el caso de polarización perpendicular.

**Figura 2.9:** Fórmulas de Fresnel. Campo E perpendicular al plano de incidencia
$\includegraphics[width=10cm]{fres2d.eps}$

$\begin{displaymath} A_{\perp}' = A_{\perp} \frac{2 \sin(\epsilon') \cos(\epsilon)}{\sin(\epsilon + \epsilon')} \vspace{5mm} \end{displaymath}$

(2.39)

$\begin{displaymath} A_{\perp}'' = A_{\perp} \frac{\sin(\epsilon'-\epsilon)}{\sin(\epsilon+\epsilon')} \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(2.40)

Las ecuaciones 2.37-2.40 reciben el nombre de Fórmulas de Fresnel. Habitualmente se trabaja con los coeficientes de reflexión y transmisión, que se definen

$\displaystyle r_{\vert\vert} = \frac{A_{\vert\vert}''}{A_{\vert\vert}} \quad t_{\vert\vert} = \frac{A_{\vert\vert}'}{A_{\vert\vert}}$	(2.41)
$\displaystyle r_{\perp} = \frac{A_{\perp}''}{A_{\perp}} \quad t_{\perp} = \frac{A_{\perp}'}{A_{\perp}} \vspace{5mm}$ .

descargarlos todos para que funcionen y tenerlos en una misma carpeta.