ingeniería aeroespacial - mecánica de fluidos

En dinámica de fluidos, el coeficiente de arrastre (comúnmente denotado como: c_d, c_x o c_w) es una cantidad adimensional que se usa para cuantificar el arrastre o resistencia de un objeto en un medio fluido como el aire o el agua. Es utilizado en la ecuación de arrastre, en donde un coeficiente de arrastre bajo indica que el objeto tendrá menos arrastre aerodinámico o hidrodinámico. El coeficiente de arrastre está siempre asociado con una superficie particular.- ..............................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=de43688ffcee374ca99523ab48e943b56817fe2d&writer=rdf2latex&return_to=Coeficiente+de+arrastre

Rangos de validez

La fórmula general de la fuerza de rozamiento es

Donde C_d se denomina coeficiente de arrastre, r_f es la densidad del medio, A es el área de la sección transversal al movimiento (en el caso de una esfera es p R²), y v es la velocidad.

El coeficiente de arrastre es una función del número de Reynolds, Re. Este número es importante para definir el comportamiento de un fluido y en particular, la transición del flujo laminar al turbulento. El número Re se define como

donde l representa la longitud del objeto medida a lo largo de su sección transversal (en el caso de una esfera es 2R), y h es la viscosidad dinámica del fluido.

Para un amplio intervalo de números Re, la forma funcional del coeficiente de arrastre C_d se puede escribir.

Para pequeños números Re<1 cuerpo="" de="" domina.="" el="" esf="" forma="" fuerza="" i="" la="" nbsp="" primer="" radio="" rica="" rmino="" rozamiento="" sobre="" t="" un="">R

 la podemos escribir

Que es la conocida fórmula de Stokes. La fuerza de rozamiento sobre una esfera que se mueve despacio en un medio es proporcional a la velocidad.

El rango de validez de la fórmula de Stokes (Re<1 el="" i="" limita="" nbsp="" radio="">R

 de la esfera que empleamos en la experiencia de la medida de la viscosidad de un fluido, para un fluido (aceite) y para un material (plomo) determinado. Conocidos los datos de la densidad del fluido r_f , su viscosidad η (medida por otros procedimientos alternativos) y la velocidad v de la esfera en dicho medio, el radio R de la esfera debe cumplir que

Para grandes números Re, en el intervalo 1000C_d

 es aproximadamente constante C_d@ 0.4. La fuerza de rozamiento para una esfera de radio R vale

La fuerza de rozamiento es proporcional al cuadrado de la velocidad.

Vamos a resolver el problema del lanzamiento de un cuerpo de forma esférica verticalmente hacia arriba con velocidad inicial v₀. Supondremos que el cuerpo tiene forma esférica de radio R, de masa m (o densidad del sólido r _e), y que se mueve en un medio de densidad r_f . Tomaremos como medida de la aceleración de la gravedad g=9.81 m/s²

Movimiento en el vacío.

La única fuerza que actúa es el peso. El movimiento del cuerpo es uniformemente acelerado.

Fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad. Fórmula de Stokes

Sobre el cuerpo actúan tres fuerzas, el peso, el empuje y la fuerza de rozamiento.La ecuación del movimiento en su movimiento ascendente es

Esta ecuación la podemos escribir de forma más sencilla

Hemos denominado a G la aceleración efectiva de la gravedad

Integrando esta ecuación con la condición inicial de que en el instante t=0, la velocidad v=v₀.

Integrando nuevamente, obtenemos la posición del móvil (altura) en función del tiempo. En el instante inicial t=0, el cuerpo parte del origen x=0.

Cuando el cuerpo desciende no tenemos que volver a plantear la ecuación del movimiento ya que la velocidad cambia de signo.

Ejemplo

Un grano de arena de radio R=0.02 mm=0.00002 m se lanza verticalmente en el agua con una velocidad inicial de v₀=0.01 m/s.

Datos: densidad de la arena  r_e=2670 kg/m³, densidad del agua r_f = 1000 kg/m³,  viscosidad h =0.001 kg/(m·s).

El valor de G=6.14 m/s² y el de a =4213 s^-1.

El número Re se mantiene inferior a 1, (en el instante inicial) por lo que se puede aplicar la fórmula de Stokes.

En el siguiente applet se compara el movimiento de una partícula lanzada verticalmente hacia arriba en el vacío con la velocidad inicial v₀=0.01 m/s (en azul) , y el movimiento vertical hacia arriba y hacia abajo del grano de arena en el agua (en rojo).

• Seleccionado el botón de radio titulado Posición, se representa la posición x en función del tiempo t.
• Seleccionado el botón de radio titulado Velocidad, se representa la velocidad v en función del tiempo t.

Podemos observar como el grano de arena adquiere rápidamente una velocidad constante.

Fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad

Como la fuerza de rozamiento es proporcional al cuadrado de la velocidad, no cambia de signo cuando el cuerpo pasa de moverse hacia arriba a moverse hacia abajo. Por tanto, tenemos que plantear las ecuaciones del movimiento en dos etapas, cuando el cuerpo asciende y cuando el cuerpo desciende.

• Movimiento vertical hacia arriba

Se puede escribir de una forma más simple, de la forma

Integrando esta ecuación con la condición inicial de que en el instante t=0, la velocidad v=v₀.

Integrando nuevamente, obtenemos la posición del móvil (altura) en función del tiempo. En el instante inicial t=0, el cuerpo parte del origen x=0.

• Movimiento vertical hacia abajo

La ecuación del movimiento es ahora

Integrando esta ecuación con la condición inicial de que en el instante t=t₀, la velocidad inicial v=0.

donde t₀ es el tiempo que tarda el cuerpo en ascender hasta la máxima altura v=0.
Integrando nuevamente obtenemos la posición del móvil (altura) en función del tiempo. En el instante t=t₀, el cuerpo parte de la altura máxima x_máx

Ejemplo:
Consideremos una pelota de plástico que se lanza hacia arriba con una velocidad inicial v₀=5 m/s. Supongamos que su masa es de m=78.3 g y su radio de R=15 cm. Sabiendo que la densidad del aire es r_f =1.293 kg/m³ y su viscosidad es h=17.1 10^-6 kg/(m·s).
El valor de G=7.53 m/s² y el de g =0.176 s/m. El número de Reynolds es en el momento del lanzamiento de la pelota vale

El número Re está en el intervalo de validez de la fórmula de la fuerza de rozamiento, salvo cuando se aproxima a la máxima altura, la velocidad es próxima a cero. Ahora bien, en la mayor parte de la trayectoria la velocidad de la pelota es suficientemente alta para que se el número de Reynolds esté dentro del intervalo 1000En el siguiente applet, se compara el movimiento de una partícula lanzada verticalmente hacia arriba en el vacío con la velocidad inicial v₀=5 m/s (en azul) , y el movimiento vertical hacia arriba y hacia abajo de la pelota en el aire (en rojo).

• Seleccionado el botón de radio titulado Posición, se representa la posición x en función del tiempo t.
• Seleccionado el botón de radio titulado Velocidad, se representa la velocidad v en función del tiempo t.