AMIGOS PARA SIEMPRE: ingeniería aeroespacial

En física, una ecuación de continuidad expresa una ley de conservación de forma matemática, ya sea de forma integral como de forma diferencial.En teoría electromagnética, la ecuación de continuidad viene derivada de dos de las ecuaciones de Maxwell. Establece que la divergencia de la densidad de corriente es igual al negativo de la derivada de la densidad de carga respecto del tiempo:

En otras palabras, sólo podrá haber un flujo de corriente si la cantidad de carga varía con el paso del tiempo, ya que esta disminuye o aumenta en proporción a la carga que es usada para alimentar dicha corriente.

\nabla \cdot \vec{J} = - {\partial \rho \over \partial t}

Esta ecuación establece la conservación de la carga.En mecánica de fluidos, una ecuación de continuidad es una ecuación de conservación de la masa. Su forma diferencial es:

{\partial \rho \over \partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{u}) = 0

donde

\rho

es la densidad, t el tiempo y

\vec{u} = u_x \vec i + u_y \vec j + u_z \vec k

la velocidad del fluido. Es una de las tres ecuaciones de Euler.En Mecánica cuántica, una ecuación de continuidad es una ecuación de conservación de la probabilidad. Su forma diferencial es:¹

$\frac {\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0$

Donde

\rho

es la densidad de probabilidad de la función de ondas y

\mathbf{j}

es la corriente de probabilidad o densidad de corriente. Estas dos expresiones se pueden relacionar con lafunción de onda de una partícula como:

$\rho=|\Psi|^2=\Psi^*(\mathbf{r},t)\Psi(\mathbf{r},t), \quad \mathbf{j} = {i \over 2m} \left( \Psi^*\boldsymbol{\nabla}\Psi - \Psi\boldsymbol{\nabla}\Psi^* \right)\,\!$

En la teoría especial de la relatividad, una ecuación de continuidad debe escribirse en forma covariante, por lo que la ecuación de continuidad usual para la carga eléctrica y otras magnitudes conservadas se suele escribir en teoría de la relatividad como:

$\part_\alpha j^\alpha = \frac{\part j^\alpha}{\part x^\alpha} = 0, \qquad \qquad \begin{cases} (j^0, j^1, j^2, j^3) = (\rho c, j_x, j_y, j_z)\\ (x^0,x^1,x^2,x^3) = (ct, x, y, z) \end{cases}$

La ecuación de continuidad para la densidad másica (o más exactamente la energía másica) y la densidad de momento lineal se escribe en términos del tensor energía impulso:

$\part_\alpha T^{0\alpha} = \frac{\part T^{0\alpha}}{\part x^\alpha} = 0$

En el contexto de la teoría general de la relatividad las derivadas parciales deben substituirse por derivadas covariantes:

$\nabla_\alpha j^\alpha = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\part}{\part x^k} \left(\sqrt{|g|} j^k \right) = 0$

Donde

\scriptstyle \sqrt{|g|}

es la raíz del determinante del tensor métrico asociado a las coordenadas

\scriptstyle x^\alpha

. Y análogamente para la conservación de la energía:

\nabla_\alpha T^{0\alpha} = 0

Ecuación de la continuidad

Consideremos una porción de fluido en color amarillo en la figura, el instante inicial t y en el instante t+Dt.

En un intervalo de tiempo Dt la sección S1 que limita a la porción de fluido en la tubería inferior se mueve hacia la derecha Dx1=v1Dt. La masa de fluido desplazada hacia la derecha es Dm1=r·S1Dx1=rS1v1Dt.

Análogamente, la sección S2 que limita a la porción de fluido considerada en la tubería superior se mueve hacia la derecha Dx2=v2Dt. en el intervalo de tiempo Dt. La masa de fluido desplazada es Dm2=r S2v2 Dt. Debido a que el flujo es estacionario la masa que atraviesa la sección S1 en el tiempo Dt, tiene que ser igual a la masa que atraviesa la sección S2 en el mismo intervalo de tiempo. Luego

v1S1=v2S2

Esta relación se denomina ecuación de continuidad.

En la figura, el radio del primer tramo de la tubería es el doble que la del segundo tramo, luego la velocidad del fluido en el segundo tramo es cuatro veces mayor que en el primero.

La ecuación de continuidad se escribe

v1S1=v2S2

Que nos dice que la velocidad del fluido en el tramo de la tubería que tiene menor sección es mayor que la velocidad del fluido en el tramo que tiene mayor sección. Si S1>S2, se concluye que v1

Teorema de Bernoulli

Basicamente Bernoulli dividió este estudio en dos partes, la primera en la cual considero los efectos de la conpresibilidad del aire como despreciable, es decir flujo incompresible que es lo que ocurre en vuelo a bajas velocidades o vuelo subsónico, y en la segunda etapa realizo el análisis considerando apreciables los efectos de compresión del aire o flujo compresible que es lo que ocurre en vuelos a altas velocidades generalmente vuelos transónicos o supersónicos.

Entrando al análisis en sí, consideremos un fluido, compresible o no, en movimiento; cada partícula tendrá una trayectoria determinada; si consideramos un tubo formado por esas trayectorias o líneas de corriente, y nos fijamos en lo que ocurre dentro del tubo podremos deducir el teorema de Bernoulli

Aislemos una longitud, que puede ser tan pequeña como queramos del tubo; sea esta longitud Dl (o dl), y sean S y S' las superficies del tubo en los extremos, V y V + DV (o V + dV), las velocidades correspondientes en esas secciones. Sobre la cara S, el resto de fluido a la izquierda, ejercerá un presión p perpendicular a la cara, sobre la S', el resto de fluido a la derecha ejercerá una presión p + Dp (o p + dp).

Las fuerzas que actúan sobre esa masa, tomando como sentido positivo hacia la derecha (sentido de la velocidad) serán:

F = p . S - (p + dp) . S'

La longitud del tubo dl la podemos hacer tan pequeña como queramos, luego la haremos tan pequeña como sea necesario para que se puede considerar que las secciones S y S' son iguales, quedará entonces:

F = p . S - (p + dp) .S

F = p . S - p . S - dp . S

F = -dp . S

El volumen que ocupa la masa que estamos consideramos, si S es igual a S', será el volumen de un prisma:

volumen = S . dl ; siendo d = densidad

masa = d . S .dl

La aceleración a que esta sometida esa masa será:

a = dV / dt

Sustituyendo los valores hallados en la ecuación fundamental de la dinámica:

Fuerza = masa . aceleración ; F = m . a

-dp . S = d . S . dl . (dV / dt)

quedara dividiendo por S y teniendo en cuenta que por definición:

dl / dt = V

" dp + d . V . dV = 0 "

Esta es la expresión del teorema de Bernoulli en forma diferencial; en ellas existen tres variables: p(presión), d (densidad) y V (velocidad).

Ecuación de Bernoulli para fluidos incompresibles:

De las tres variables que existen en la ecuación anterior, al ser la densidad constante, se quedan reducidas a dos: p y V, la ecuación diferencial es fácil de integrar resultando:

" p + ½ .d. V² = constante "

que es la expresión mas conocida del teorema de Bernoulli, y será valida para un fluido en el que d es igual a constante, o bien para el aire a bajos números de MACH, aunque en este caso existirá un pequeño error.

Ella expresa que en un punto cualquiera de un fluido en movimiento la suma de la presión en ese punto mas la mitad del producto de la densidad por el cuadrado de la velocidad es constante, eso es, seria igual a la suma de esos mismos sumados con los valores que existen en otro punto. Si son p1, V1 y d1, la presión, velocidad y densidad en el punto 1 y p2, V2 y d 2 en el punto 2, etc. se verificara:

En el caso de que en uno de los puntos considerados no exista velocidad, es decir que sea un punto de remanso, la presión que existe en él se denomina presión total (pt) y en general la presión que existe en un punto de velocidad (V) distinta de cero, la denominaremos presión estática (ps), aplicando el teorema de Bernoulli a dos puntos del fluido, uno de los cuales sea el que tiene velocidad nula será:

pt + 0 = ps + ½ .d. V²

pt = ps + ½ . d . V²

El termino ½ .d. V² que tiene las dimensiones de una presión se la denomina presión dinámica; la formula anterior expresa que:

"La presión total, también llamada presión de impacto, es igual a la suma de la presión estática más la dinámica".

Esta ecuación se puede expresar así:

Ecuación de Bernoulli para flujo incompresible

pt - ps = ½ . d . V²

De donde se deduce que midiendo la diferencia pt - ps, tenemos el producto ½ .d .V². El anemómetro está basado en esta medida.

En un tubo, como el de la Figura , por el que circula un fluido incompresible, al aplicar el teorema de Bernoulli en los puntos 1 y 2, resulta:

p1 + ½ .d1 . V1² = p2 + ½ .d 2 . V2²

Es evidente que en V2 la velocidad debe ser mayor que en V1, luego para que se conserve la igualdad, la presión p2 debe ser menor que la presión p1: Al aumentar la velocidad disminuye la presión, este fenómeno se conoce con el nombre de efecto Venturi.

Ecuación de Bernoulli para fluidos compresibles:

Esta es también conocida como ecuación de Saint Venant. La ecuación es similar a la del flujo incompresible, donde la expresión se ve afectada por el término (1+ 0,25 . M²) donde M es el número de Mach.

Ecuación de Bernoulli para flujo compresible

pt - ps = ½ . d . V² .(1+ 0,25 . M²)

APLICACIONES

Ejempo 1

Un líquido fluye por una tubería horizontal cuyo radio interior es de 2.52 cm. La tubería se dobla hacia arriba con una altura de 11.5 m donde se ensancha y se une con otra tubería horizontal de 6.14 cm de radio interior. Cuál debe ser el flujo volumétrico si la presión en las dos tuberías horizontales es la misma?

Solución

Si aplicamos la la ecuación de bernoulli en el punto más bajo de la tubería (punto 1) y en el punto más alto de la misma (punto 2); y si además (de las condiciones del problema) consideramos el hecho de que las presiones en estos dos puntos deben ser iguales,

, entonces tenemos que

Considerando que el flujo volumétrico debe ser el mismo a lo largo de toda la tubería también contamos con la ecuación.

Combinando esta ecuación con la ecuación de Bernoulli podemos encontrar

Conociendo esta velocidad el flujo volumétrico es el producto de esta velocidad por el área de la sección transversal del tubo

Ejemplo 2
Durante un huracán está soplando aire (densidad = 1.2 kg/cm

) sobre el tejado de una casa a una velocidad de 110 km/h. (a) Cuál es la diferencia de presión entre el interior y el exterior que tiende a levantar el tejado? (b) Cuál sería la fuerza ascencional en un tejado de 93 m

de área?

Solución

Aplicando la ecuación de Bernoulli en un punto situado justamente arriba del techo (punto 1) y en otro punto justamente abajo del techo (punto 2), tenemos que