ingeniería aeroespacial - mecánica de fluidos

Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededor de vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en el que se involucren fluidos newtonianos.- .........................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=f144c192dd4edc9ea99cddad0c8bb5ba32fd7447&writer=rdf2latex&return_to=Ecuaciones+de+Navier-Stokes







Las ecuaciones de Saint-Venant en 1D son un conjunto de ecuaciones diferenciales, que modelan los cambios de caudal y nivel de un líquido a lo largo del espacio unidimensional y el tiempo de manera no permanente en un canal a superficie libre o abierto .- ..................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=3515be8610021a0aee40ac00d30abbf14c18bd08&writer=rdf2latex&return_to=Ecuaciones+de+Saint-Venant+en+1D

­ ESCURRIMIENTOS TRANSITORIOS Semestre Otoño 2009 Prof: Javier González Material Complementario 5 ECUACIONES DE SAINT-VENANT 1. INTRODUCCIÓN Al igual que la mayoría de los flujos en canales abiertos, el flujo en cauces naturales incluyendo el efecto de un embalse puede describirse utilizando las ecuaciones de Saint-Venant. Si bien estas ecuaciones se deducen utilizando la hipótesis de aguas poco profundas (aproximaciones tipo capa límite), numerosos estudios han demostrado que son también aplicables a flujos rápidamente variados como el rompimiento de presa o el resalto hidráulico (ej. Gharangik y Chaudry 1991; Capart et al. 2003; Zoppou y Roberts 2003). La versión unidimensional de las ecuaciones de Saint-Venant puede obtenerse de la integración sobre la sección de escurrimiento de las ecuaciones promediadas de Reynolds, utilizando los conceptos de capa límite que surgen del análisis de las escalas características del flujo. Al utilizar la aproximación tipo capa límite, la ecuación de conservación del momentum en la dirección normal al fondo indica que la distribución de presiones en esa dirección es hidrostática. Una alternativa más simple para deducirlas corresponde al enfoque integral, en el cual la ecuación del transporte de Reynolds es aplicada a la masa y al momentum del flujo considerando un volumen de control finito de un tramo del río. Suponiendo que la curvatura de las líneas de corrientes es despreciable, puede considerarse que la distribución de presiones es la hidrostática, obteniéndose el mismo resultado que el obtenido con el enfoque anterior. Debido al amplio conocimiento de las ecuaciones de Saint-Venant, por simplicidad, en este capítulo se realizará la deducción utilizando el enfoque integral, realizando un balance de masa y de momentum sobre un volumen de control de largo dx y sección de escurrimiento A, las secciones que limitan el volumen de control están ubicadas en las posiciones x y x+dx respectivamente.. Los principales supuestos son , (Chow,1988).
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La profundidad varía sólo en la dirección longitudinal, es decir, en cada sección transversal la superficie de agua es horizontal. El flujo es gradualmente variado a lo largo del canal, de tal forma que las aceleraciones verticales pueden despreciarse y la ley hidrostática es válida.

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Los efectos de curvatura del eje longitudinal del canal son despreciables. La pendiente de fondo es pequeña y los cambios del lecho son muy lentos comparados con los del flujo (hipótesis cuasi-estática). Los coeficientes de resistencia para flujo uniforme y permanente son aplicables al caso impermanente no uniforme, de modo que la fórmula de Manning es utilizable para evaluar la resistencia al escurrimiento. El fluido es incompresible y de densidad constante a lo largo del flujo.

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El esquema general, donde se definen el sistema de coordenadas y las principales variables se presenta en la Figura 1.1. En ella x es un eje longitudinal inclinado respecto a la horizontal, z es un eje normal al fondo, zf y zw corresponden a las coordenadas que describen al fondo y la superficie libre, hw es la profundidad del flujo y zB es un eje vertical positivo hacia arriba que describe la elevación del eje x con respecto a un nivel de referencia horizontal.

hw(x)

z

zw(x) zf x

zB(x) Datum

Figura 1.1 Esquema general del flujo, corte longitudinal En la derivación de las ecuaciones se utilizará la regla de Leibniz que establece que:

s

b

f (r , s )dr =

b

a

a

f b a dr + f (b, s ) - f (a, s ) s s s

(1.1)

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2. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD El volumen de control utilizado para la aplicación del principio de conservación de la masa se esquematiza en la Figura 2.1. Sobre este volumen de control, , el teorema de transporte de Reynolds indica que,
Qx

Qx+dx

dx

Figura 2.1 Volumen de control para el principio de continuidad
dm =0 dt (2.1) dm = dt t

d +
V .C S .C

V ndA ^

La primera integral del lado derecho corresponde a la masa de fluido dentro del volumen de control, Adx, donde es la densidad del agua y A la sección de escurrimiento, mientras que la segunda integral corresponde a los flujos másicos que atraviesan las superficies de control. Suponiendo que no existen aportes laterales de agua, entonces:

dx

A - Q x + Q x +dx = 0 t

(2.2)

donde Q corresponde al caudal. Dividiendo por la densidad y aproximando Qx+dx por una serie de Taylor de primer orden se tiene que,

A Q dx - Q x + Q x + dx = 0 t x y dividiendo por el largo del volumen, dx, resulta finalmente, A Q + =0 t x

(2.3)

(2.4)

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3. ECUACIÓN DE MOMENTUM
Según la segunda ley de Newton la derivada temporal del momentum corresponde a la sumatoria de fuerzas externas. Considerando la dirección longitudinal, en el teorema del transporte de Reynolds la propiedad intensiva del momentum corresponde a V, donde V es la velocidad media del flujo, con lo cual el principio de conservación se escribe,

Fx =

t

Vd +
V .C S .C

V V ndA ^

(3.1)

Despreciando la fuerza que ejerce el viento en la superficie libre, y las fuerzas producto de contracciones o expansiones bruscas de la sección, la sumatoria de fuerzas en la dirección longitudinal se puede resumir en,

Fx = Fg + F f + F p

(3.2)

donde Fg es la fuerza ejercida por la gravedad, manifestada como el peso del fluido dentro del volumen de control, Ff es la fuerza de fricción que ejerce el fondo y las paredes del volumen de control y Fp es la fuerza de presión. La fuerza del peso proyectada en la dirección longitudinal se obtiene como,
Fg = - gAdx z B x

(3.3)

donde g es la aceleración de gravedad. La fuerza friccional es consecuencia de la acción del esfuerzo de corte sobre el lecho y las paredes. De este modo si B es el esfuerzo de corte sobre el lecho, Rh es el radio hidráulico de la sección, es el perímetro mojado y Sf la pendiente de la línea de energía entonces,

B = gRh S f
Rh = A

(3.4) (3.5)



F f = - Bdx
(3.6)

F f = - gAS f dx
La pendiente de la línea de energía que puede obtenerse a partir de la ecuación de resistencia de Manning: n 2Q Q S f = 2 4/3 (3.7) A Rh

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donde n es el coeficiente de rugosidad de Manning. Por su parte, la fuerza de presión en la dirección longitudinal posee dos componentes según se muestra en la Figura 3.1. La primera corresponde a la suma de las presiones que ejerce el flujo en las secciones de escurrimiento que limitan al volumen de control, y la segunda corresponde a la fuerza que ejercen las paredes de éste. Expandiendo en serie de Taylor y truncando a primer orden la fuerza de presión que actúa en la sección ubicada en x+dx, se tiene que: F px (3.8) Fp = - dx + F pb x
Fpb Fpx Fpx+dx

Fpb dx

Figura 3.1 Esquema de las fuerzas de presión, vista en planta.
Considerando la geometría de la Figura 3.2, según la ley hidrostática la presión en el punto z' es:
p ( z ' ) = g ( z w - z ' )

(3.9)

La fuerza de presión Fpx será la integral de p(z') sobre la sección, y derivando con respecto a x se tiene,

F px

w = g ( z w - z ')b( z ')dz ' x x z f

z

(3.10)

b(z') z' z y zf(x) zB(x) zw(x)

Figura 3.2 Sección transversal del flujo © Prohibida la reproducción sin la autorización de la División de Recursos Hídricos y Medio Ambiente, Departamento de Ingeniería Civil, Universidad de Chile

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Utilizando la regla de Leibniz resulta:
F px x = g z (z w - z ')b(z ')dz ' - g (z w - z f )b(z f ) f x x zf
zw

(3.11)

La dirección longitudinal de escurrimiento está determinada por la pendiente media del fondo, cuya magnitud corresponde a la inclinación del eje x con respecto a la horizontal -zB/x. La derivada con respecto a x de zf describe entonces las variaciones locales del fondo en la dirección longitudinal. Si se desprecia el efecto de éstas variaciones en el balance de presión, el cual está representado por el segundo término del lado derecho en (3.11), frente a las variaciones de la superficie libre y los taludes en la dirección longitudinal, y expandiendo la derivada dentro de la integral resulta:
F px z = g w x x F px x
zw

b( z ')dz ' + g
z

zw

(z w - z ') b(z ') dz '
x

(3.12)

zf

zf

= gA

w z w b( z ') + g ( z w - z ' ) dz ' x x zf

(3.13)

Por otro lado, la fuerza que ejercen las paredes de la sección sobre el flujo puede obtenerse considerando el esquema de la Figura 3.2 y la Figura 3.3. A una elevación z', la presión, dada por la ecuación (3.9), actúa sobre una longitud proyectada b(x+dx)-b(x). La fuerza total que ejercen las paredes será la integral en la dirección normal, del producto de ambos términos, es decir,

Fpb b(x+dx,z')

b(x,z')

Fpb dx

Figura 3.3 Esquema para las fuerzas de presión ejercida por las paredes a una elevación z'
F pb =
zw

g ( z w - z ')[b( x + dx ) - b( x )]dz '

(3.14)

zf

Expandiendo b(x+dx) en series de Taylor y truncando a primer orden se obtiene:

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F pb = g

zw

(z w - z ') b(z ') dx dz '
x

(3.15)

zf

y reemplazando (3.15) y (3.13) en (3.8) se obtiene finalmente: F p = - gA
z w dx x

(3.16)

Con esto la sumatoria de fuerzas en (3.1) se obtiene utilizando (3.3), (3.6), (3.7) y (3.16).

n 2Q Q z z B Fx = - gA dx - g dx - gA w dx 4/3 x x A Rh

(3.17)

Si la inclinación del fondo es pequeña se puede definir la elevación de la superficie libre con respecto al nivel de referencia horizontal como: Z = zw + zB con lo que (3.17) queda:
F = - gA n 2Q Q Z dx - g dx 4/3 x A Rh

(3.18)

(3.19)

Para el almacenamiento de momentum, si uf es la velocidad local del flujo en la dirección longitudinal se tiene:

t

Vd =
V .C

t

x + dx



(

u f d A dx = 

)

x

Q dx t

(3.20)

Mientras que los flujos de momentum según x a través de las secciones de entrada y de salida del volumen de control son:

V V ndA = - u 2 dA + ^ f
S .C x

u 2 dA f
x + dxx

(3.21)

Para relacionar las velocidades locales del flujo con el caudal de escurrimiento se utiliza el coeficiente de Boussinesq definido como:

=

u 2 dA f Q2 / A

(3.22)

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entonces la ecuación (3.21) puede escribirse de la siguiente forma:

Q2 V V ndA = - ^ A S .C

x

Q2 + A

(3.23)
x + dxx

y expandiendo en series de Taylor y truncando a primer orden, resulta finalmente:

V V ndA = ^
S .C

Q 2 / A dx x

(

)

(3.24)

De este modo, el principio de conservación del momentum se obtiene reemplazando (3.19), (3.20) y (3.24) en (3.1), y dividiendo por dx. Considerando que el coeficiente de Boussinesq posee valores muy cercanos a la unidad en cauces naturales, se obtiene finalmente:

n 2Q Q Q Q 2 / A Z + = - gA -g 4/3 t x x A Rh