La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria, no lineal de primer orden, inventada y desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati, con el fin de analizar la hidrodinámica.En 1724 publicó una investigación multilateral de la ecuación, llamada, por iniciativa de D'Alembert (1769): Ecuación de Riccati. La investigación de la ecuación de Riccati convocó el esfuerzo de varios matemáticos: Leibnitz, Goldbach, Juan Bernoulli y sus hijos Nicolás y Daniel Bernoulli, y posteriormente, aEuler.¹

Generalmente, esta ecuación la presentan en la forma:

$\frac{dy}{dx} + p(x)y + q(x)y^2 = f(x)$ .

Esta ecuación se resuelve si previamente se conoce una solución particular, sea

y_1(x)\,\!

Conocida dicha solución, se hace el cambio:

$y(x)= z(x) + y_1(x)\,\!$

y reemplazando, se obtiene:

$\frac{dy}{dx}=-p(x)y-q(x)y^2 +f(x)=\frac{dz(x)}{dx}+ \frac{dy_1}{dx}$

es decir:

$-p(x)y -q(x)y^2+ f(x)=\frac{dz}{dx} -p(x)y_1(x) - q(x)y_1(x)^2 +f(x)$

$\Rightarrow \frac{dz}{dx} = p(x) (y_1-y)+ q(x)(y_1^2-y^2)$

lo que equivale a:

$\frac{dz}{dx}=-p(x)z-q(x) (z^2+2zy_1)$

$\Rightarrow \frac{dz}{dx}=-(p(x) +2q(x)y_1(x))z -q(x)z^2$

que corresponde a una ecuación diferencial de Bernoulli.

Ecuaciones De Riccati

Antes de que demos la definici�n formal de las ecuaciones de Riccati , una poca introducci�n puede ser provechosa. De hecho, considere la primera orden ecuaci�n diferencial

$\begin{displaymath}\frac{dy}{dx} = f(x,y).\end{displaymath}$

Si aproximamos f ( x , y), mientras que x es constante guardada, conseguiremos

$\begin{displaymath}f(x,y) = P(x) + Q(x) y + R(x) y^2 + \cdots\end{displaymath}$

Si paramos en y , conseguiremos una ecuaci�n linear. Riccati miraba la aproximaci�n al segundo grado: �l consideraba las ecuaciones del tipo

$\begin{displaymath}\frac{dy}{dx} = P(x) + Q(x) y + R(x) y^2.\end{displaymath}$

Estas ecuaciones llevan su nombre, ecuaciones de Riccati . Son no lineales y no caen bajo categor�a de cualesquiera de las ecuaciones cl�sicas. Para solucionar una ecuaci�n de Riccati, una necesitar� una soluci�n particular. Sin saber por lo menos una soluci�n, no hay absolutamente ocasi�n de encontrar ningunas soluciones a tal ecuaci�n. De hecho, deje y ₁ser una soluci�n particular de

$\begin{displaymath}\frac{dy}{dx} = P(x) + Q(x) y + R(x) y^2.\end{displaymath}$

Considere la nueva funci�n z definida cerca

$\begin{displaymath}z = \frac{1}{y - y_1}.\end{displaymath}$

Entonces los c�lculos f�ciles dan

$\begin{displaymath}\frac{dz}{dx} = -\Big(Q(x) + 2y_1 R(x)\Big) z - R(x)\end{displaymath}$

cu�l es una ecuaci�n linear satisfecha por la nueva funci�n z . Una vez que se solucione, vamos de nuevo a y v�a la relaci�n

$\begin{displaymath}y = y_1 + \frac{1}{z}.\end{displaymath}$

Tenga presente que puede ser m�s duro recordar la ecuaci�n antedicha satisfecha por z . En lugar, intento para hacer los c�lculos siempre que usted pueda.

Ejemplo. Solucione la ecuaci�n

$\begin{displaymath}\frac{dy}{dx} = -2 -y + y^2.\end{displaymath}$

sabiendo que y ₁= 2 es una soluci�n particular.
Respuesta. Reconocemos una ecuaci�n de Riccati. Primero de todos necesitamos cerciorarnos de que y ₁sea de hecho una soluci�n. Si no, nuestros c�lculos ser�n infructuosos. En este caso particular, es absolutamente f�cil comprobar que y ₁= 2 es una soluci�n. Sistema

$\begin{displaymath}z = \frac{1}{y - 2}.\end{displaymath}$

Entonces tenemos

$\begin{displaymath}y = 2 + \frac{1}{z}\end{displaymath}$

cu�l implica

$\begin{displaymath}y ' = - \frac{z'}{z^2}.\end{displaymath}$

Por lo tanto, de la ecuaci�n satisfecha por y , conseguimos

$\begin{displaymath}- \frac{z'}{z^2} = -2 -\left(2 + \frac{1}{z}\right)+ \left(2 + \frac{1}{z}\right)^2.\end{displaymath}$

Las manipulaciones algebraicas f�ciles dan

$\begin{displaymath}- \frac{z'}{z^2} = \frac{3}{z} + \frac{1}{z^2}.\end{displaymath}$

Por lo tanto

z ' = -3 z -1.

Esto es una ecuaci�n linear . La soluci�n general se da cerca

$\begin{displaymath}z = \frac{-1/3 e^{3x} + C}{e^{3x}} = -\frac{1}{3} + C e^{-3x}.\end{displaymath}$

Por lo tanto, tenemos

$\begin{displaymath}y = 2 + \frac{1}{\displaystyle-\frac{1}{3} + C e^{-3x}}.\end{displaymath}$

Nota: Si uno recuerda la ecuaci�n satisfecha por z , despu�s las soluciones se pueden encontrar un pedacito m�s r�pido. De hecho en este ejemplo, tenemos P (x) = -2, Q (x) = -1, y R (x) = 1. Por lo tanto la ecuaci�n linear satisfecha por la nueva funci�n z , es

$\begin{displaymath}\frac{dz}{dx} = -\Big(Q(x) + 2y_1 R(x)\Big) z - R(x) = -\Big(-1 + 4\Big) z - 1 = - 3 z - 1.\end{displaymath}$

Ejemplo. Compruebe a que $$y_1 = \sin(x)$ est� una soluci�n

$\begin{displaymath}\frac{dy}{dx} = \frac{2 \cos^2(x) - \sin^2(x) + y^2}{2 \cos(x)}.\end{displaymath}$

Entonces solucione el IVP

$\begin{displaymath}\left\{\begin{array}{lll} \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac... ... - \sin^2(x) + y^2}{2 \cos(x)}\\ y(0) = -1 \end{array} \right.\end{displaymath}$

Dejaremos a lector comprobar que $\sin(x)$ es de hecho una soluci�n particular de las ecuaciones diferenciales dadas. Tambi�n reconocemos que la ecuaci�n est� de tipo de Riccati. Sistema

$\begin{displaymath}z = \frac{1}{y - \sin(x)}\end{displaymath}$

cu�l da

$\begin{displaymath}y = \sin(x) + \frac{1}{z}.\end{displaymath}$

Por lo tanto

$\begin{displaymath}y' = \cos(x) - \frac{z'}{z^2}.\end{displaymath}$

El substituir en la ecuaci�n da

$\begin{displaymath}\cos(x) - \frac{z'}{z^2} = \frac{2 \cos^2(x) - \sin^2(x) + \left(\displaystyle \sin(x) + \frac{1}{z} \right)^2}{2 \cos(x)}.\end{displaymath}$

Las manipulaciones algebraicas f�ciles dan

$\begin{displaymath}- \frac{z'}{z^2} = \frac{\left(\displaystyle 2\sin(x) \frac{1... ...sin(x)}{\cos(x)} \frac{1}{z} + \frac{1}{2\cos(x)}\frac{1}{z^2}.\end{displaymath}$

Por lo tanto

$\begin{displaymath}z' = -\frac{\sin(x)}{\cos(x)} z - \frac{1}{2\cos(x)}.\end{displaymath}$

�sta es la ecuaci�n linear satisfecha por z . El factor que integra es

$\begin{displaymath}u(x) = e^{\displaystyle \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)}} = e^{-\ln(\cos(x))} = \frac{1}{\cos(x)} = \sec(x).\end{displaymath}$

La soluci�n general es

$\begin{displaymath}z = \frac{-1/2 \int \sec^2(x) dx + C}{u(x)} = \cos(x) \left(-\frac{1}{2} \tan(x) + C\right) = -\frac{1}{2} \sin(x) + C \cos(x).\end{displaymath}$

Ahora es hora de ir de nuevo a la funci�n original y . Tenemos

$\begin{displaymath}y = \sin(x) + \frac{1}{ \displaystyle -\frac{1}{2} \sin(x) + C \cos(x)}.\end{displaymath}$

La condici�n inicial y (0) = -1 implica 1/ C = -1, o C = -1. Por lo tanto la soluci�n al IVP est�

$\begin{displaymath}y = \sin(x) + \frac{1}{ \displaystyle -\frac{1}{2} \sin(x) - \cos(x)}.\end{displaymath}$

AMIGOS PARA SIEMPRE

Páginas

miércoles, 15 de abril de 2015

ingeniería aeroespacial - mecánica de fluídos

Ecuaciones De Riccati

No hay comentarios:

Publicar un comentario

Datos personales

Archivo del blog