lunes, 10 de diciembre de 2018

ARTÍCULOS Y EJERCICIOS DE FÍSICA

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Colisión inelástica sobre un muelle


1 Enunciado

Una masa m se dirige hacia una masa M en reposo con velocidad de módulo v0, como se indica en la figura. La masa M se encuentra conectada a un resorte ideal de constante elástica k y longitud natural l0, anclado en el punto O. Antes de la colisión el muelle está relajado. El contacto con el suelo es liso en todo momento.
  1. Suponiendo que la colisión transcurre durante un tiempo Δt muy pequeño, y que es completamente inelástica, determina la velocidad de las dos masas justo después de la colisión. Calcula también la fuerza media ejercida sobre la masa M durante la colisión.
  2. Supongamos a partir de ahora que las dos masas son iguales M = m = m0. ¿Cuál es el valor mínimo de v0 para que las dos masas llegen hasta el eje OY?
  3. Determina el vector de posición, la velocidad y la aceleración del conjunto formado por las dos masas para un instante de tiempo arbitrario después de la colisión.

2 Solución


2.1 Colisión

El muelle no interviene en la colisión, pues al tener esta una duración temporal muy corta, no le da tiempo a comprimirse. La colisión es completamente inelástica. Sólo se conserva la cantidad de movimiento total del sistema. Y además sabemos que las dos masas quedan pegadas y tienen la misma velociad después del choque. La cantidad de movimiento antes del choque es
\vec{P} = m\vec{v}_0
y después
\vec{P} = (m+M)\,\vec{v}{\,'}
Por tanto
\vec{v}^{\,'} = \dfrac{m}{m+M}\,\vec{v}_0 = -\dfrac{m}{m+M}\,v_0\,\vec{\imath}
La fuerza media sobre la masa M se obtiene de la variación de su cantidad de movimiento. Tenemos
\Delta \vec{p}_M = \vec{F}_{m\to M}\Delta t
y por otro lado
\Delta\vec{p}_M = M\vec{v}^{\,'} - \vec{0} = -\dfrac{mM}{m+M}\,v_0\,\vec{\imath}
Entonces
\vec{F}_{m\to M} = -\dfrac{mM}{m+M}\,\dfrac{v_0}{\Delta t}\,\vec{\imath}

2.2 Condición para que lleguen al eje OY

Como no hay rozamiento, la energía mecánica se conserva. La energía potencial gravitatoria no cambia. La condición mínima es que las masas lleguen al punto O con velocidad nula. Entonces la energía cinética justo después de la colisión debe ser igual a la energía potencial elástica en el punto O
\dfrac{1}{2}(2m_0)(v')^2 \geq \dfrac{1}{2}kl_0^2 \Longrightarrow |v'| \geq \sqrt{\dfrac{1}{2} \dfrac{kl_0^2}{m_0}} \Longrightarrow v_0\geq \sqrt{\dfrac{2kl_0^2}{m_0}}

2.3 Movimiento después de la colisión

Después de la colisión las masas realizan un movimiento oscilatorio uniforme. El movimiento es unidimensional sobre el eje OX. La reacción vincular de la superficie equilibra en todo momento el peso de las masas. De este modo, la ecuación de movimiento es
(m+M)\vec{a} = -k(x-l_0)\,\vec{\imath} \Longrightarrow \ddot{x} = -\dfrac{k}{m+M}\,x + \dfrac{k}{m+M}l_0
Describimos el movimiento respecto de la posición de equilibrio xeq = l0. Definimos s(t) de modo que
x(t) = l0 + s(t)
Sustituyendo en la ecuación de movimiento obtenemos la ecuación del MAS
\ddot{s} = -\dfrac{k}{m+M}\,s
Las soluciones pueden escribirse de la forma
s(t) = A\cos(\omega t) + B\,\mathrm{sen}\,(\omega t)
con la frecuencia angular
\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m+M}} \Longrightarrow T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\dfrac{m+M}{k}}
siendo T el período de oscilación.
Las condiciones iniciales del movimiento son
s(0) = 0, \qquad \dot{s} = v'= - \dfrac{m}{m+M}\,v_0
A partir de la solución propuesta y su derivada obtenemos dos ecuaciones para A y B
\begin{array}{l} s(0) = A = 0 \\ \\ \dot{s}(0) = B\omega = -\dfrac{m}{m+M}v_0 \Longrightarrow B = -\dfrac{mv_0}{\omega(m+M)} \end{array}
Por lo tanto
s(t) = -\dfrac{mv_0}{\omega(m+M)}\,\mathrm{sen}\,(\omega t)
y
x(t) = l_0 -\dfrac{mv_0}{\omega(m+M)}\,\mathrm{sen}\,(\omega t)




Condensador plano de placas circulares


1 Enunciado

Se construye un condensador plano situando paralelamente dos discos conductores de 26 cm de diámetro a una distancia de 0.4 mm, entre los cuales hay aire (equivalente al vacío). Halle la capacidad del condensador y la carga y energía que almacena cuando la diferencia de potencial entre placas es de 5 V.
Suponga que rellenando el espacio entre las placas se coloca un disco dieléctrico de permitividad relativa \varepsilon_r=2. ¿Cuánto vale en ese caso la capacidad y la carga y energía almacenadas?

2 Sin dieléctrico

La capacidad de un condensador plano en vacío es
C_0 = \frac{\varepsilon_0 S}{a}
siendo el área de las placas
S = \frac{\pi D^2}{4} = 0.053\,\mathrm{m}^2
lo que da una capacidad
C_0 = \frac{8.85\times 10^{-12}\times 0.053}{4\times 10^{-4}}\,\mathrm{F}=1.17\,\mathrm{nF}
La carga que almacena la placa positiva del condensador cuando la d.d.p. es de 5 V vale
Q = C_0\,\Delta V= 5.87\,\mathrm{nC}
y la energía almacenada en el condenador
U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_0\,(\Delta V)^2 = 14.7\,\mathrm{nJ}

3 Con dieléctrico

El efecto de introducir un dieléctrico que llena completamente el espacio entre las placas se reduce a cambiar la permitividad del vacío por la del material
C=\frac{\varepsilon S}{a}=\frac{\varepsilon_r\varepsilon_0 S}{a}=\varepsilon_r C_0
Por tanto, en este caso en que la permitividad relativa vale 2, el resultado es que la capacidad aumenta al doble
C' = 2C_0=2.35\,\mathrm{nF}
y, si se mantiene constante la tensión, aumenta al doble la carga almacenada
Q = C\,\Delta V = 11.7\,\mathrm{nC}
y la energía electrostática del condensador
U_\mathrm{e}=29.4\,\mathrm{nJ}

Conexión y desconexión de condensadores


1 Enunciado

Dos condensadores planos idénticos de capacidad C=4.00\,\mathrm{nF} se conectan en paralelo y se cargan con una batería de fem \Sigma=2.00\,\mathrm{V}. A continuación se desconectan de la batería y, manteniéndolos conectados entre sí, se rellena uno de ellos completamente con un dieléctrico de constante dieléctrica k.
¿Cuánto debe valer k para que la diferencia de potencial entre las placas de los condensadores sea la mitad del valor que tenía antes de introducir el dieléctrico?
  1. k = 2.00.
  2. k = 3.00.
  3. k = 5.00.
  4. k = 1.50
¿Cuanto vale la energía del sistema una vez que se ha introducido el dieléctrico?
  1. 8.00\,\mathrm{nJ}.
  2. 6.00\,\mathrm{nJ}.
  3. 12.00\,\mathrm{nJ}.
  4. 5.00\,\mathrm{nJ}.

2 Solución


2.1 Constante dieléctrica del dieléctrico

La respuesta correcta es la 2.
En el proceso de carga, al estar en paralelo, los condensadores se someten a la misma diferencia de potencial Σ. Cada uno de ellos adquiere una carga
Q_1 = Q_2 = C\,\Sigma
siendo C la capacidad de los condensadores.
Al desconectarlos, no cambia ni la carga ni la diferencia de potencial en los condensadores. Sin embargo, al introducir el dieléctrico, se produce un trasvase de carga entre los condensadores. Una vez introducido el dieléctrico y alcanzado el equilibrio electrostático la nueva carga en cada uno de ellos es Q1' y Q2'. La capacidad del condensador sin dieléctrico sigue siendo C, pero la del condensador con dieléctrico es ahora k\,C . Si ahora la diferencia de potencial entre las placas es Σ / 2, la nueva carga en cada condensador es
Q_1' = C\,\Sigma/2 \qquad\qquad Q_2'=kC\,\Sigma/2
Por otro lado, la carga se conserva, pues mientras se introduce el dieléctrico los condensadores están aislados. Entonces
Q_1+Q_2 = Q_1'+Q_2' \Longrightarrow 2\,C\,\Sigma = \dfrac{C\,\Sigma}{2} + \dfrac{kC\,\Sigma}{2}
Despejando obtenemos
k = 3.00


2.2 Energía en la situación final

La respuesta correcta es la 1.
En el estado final la diferencia de potencial en ambos condensadores es Σ / 2. Como tenemos la capacidad de cada uno de ellos, la energía es
U = \dfrac{1}{2}C\,\left(\dfrac{\Sigma}{2}\right)^2 + \dfrac{1}{2}kC\,\left(\dfrac{\Sigma}{2}\right)^2 = \dfrac{C\,\Sigma^2}{8}\,(1+k) = 8.00\,\mathrm{nJ}
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