CONCEPTOS MATEMÁTICOS

RESPECTO AL ÁLGEBRA ELEMENTAL

 método de Cardano es un método para resolver analíticamente cualquier ecuación cúbica y que apareció por primera vez en el libro Ars Magna en 1545 publicado por el matemático italiano Gerolamo Cardano (1501-1576), aunque se dice que fue desarrollado originalmente por los matemáticos italianos Scipione del Ferro (1465-1526) y Niccolò Fontana (1500-1557), este último apodado Tartaglia (que significa tartamudo).

Historia[editar]

Escarceos[editar]

Los primeros esfuerzos de resolver una ecuación cúbica fueron hechos en la Antigüedad clásica. El problema de Delfos o de la duplicación del cubo y la trisección del ángulo implican empleo de ecuaciones cúbicas. Los matemáticos de los países islámicos plantearon la posible solución, y acopiaron harto contenido que fue sistematizado por Omar Jayyam. La imposibilidad de resolver los citados problemas de Delfos y la trisección, solo con compás y regla, fue demostrada en 1837 por el matemático francés Pedro Wantzel.²​

Renacimiento[editar]

En 1535 Tartaglia regentando la cátedra de matemática en Verona gana una brillante victoria en una competencia pública de matemática a Antonio María del Fiore. El tema de la competencia era la solución de la ecuación de tercer grado, que no pudieron los árabes, los indios ni los griegos. Fiore sabía cómo resolver la ecuación cúbica de la forma

${\displaystyle x^{3}+px+q=0\,}$

Las fórmulas de solución las recibió de Scipione del Ferro como un secreto. Pero Tartaglia aún antes en 1530 había hallado la solución de un caso particular. El duelo se fijó para el 22 de febrero de 1535. Intercambiaron sendos 30 problemas mutuamente, para ser resueltos en 50 días. Tartaglia, quien obtuvo la fórmula de solución el 12 de febrero de 1535, resolvió los treinta problemas en dos horas, mientras Fiore no resolvió ni uno en los cincuenta días.³​

Personajes y fórmulas[editar]

La primera solución de uno de los casos ${\displaystyle x^{3}+ax=b}$ fue obtenida por el matemático Del Ferro, docente de la universidad de Bolonia.

Tartaglia en 1535 volvió a descubrir el método de las soluciones de las ecuaciones tipo ferroliano y creó la regla para solucionar otra forma de las cúbicas.

En 1539, el polémico científico italiano, Gerónimo Cardano, solicitó a Tartaglia mostrarle la fórmula y prometió no publicar jamás. Pero seis años después, en 1545 Cardano publicó la fórmula resolutoria en su obra Ars magna sive de regulis algebraicis, citando a Tartaglia como autor, provocando reclamos del creador y desencuentros con el publicador arbitrario.

Posteriormente[editar]

La solución trigonométrica en el caso irreducible, fue publicada por primera vez por el matemático francés, Francisco Viète , en la obra Supplementum regulis algebraicis.

La denominación de ecuación cúbica se constata en los textos de Renato Descartes en 1619 y de Guillermo Oughtred en 1631. Descartes e Isaac Newton, cocreador del cálculo infinitesimal, aconsejaron el uso de la forma canónica, i.e. todos los términos en el primer miembro de la ecuación.

Joseph-Louis de Lagrange empezó el uso de las notaciones para las tres raíces de una ecuación cúbica: ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$⁴​

Estrategia general del método[editar]

La ecuación general de tercer grado

${\displaystyle Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0}$

con números reales ${\displaystyle A,B,C,D}$, y ${\displaystyle A\neq 0}$, se puede convertir en la forma normal dividiendo por ${\displaystyle A}$ y acomodando términos, con lo que queda:

${\displaystyle x^{3}+ax^{2}+bx+c=0}$

Sustituyendo ${\displaystyle x=z-{\tfrac {a}{3}}}$ se elimina de la forma normal el término cuadrático y se obtiene la forma reducida:

${\displaystyle z^{3}+pz+q=0,}$

en la que

${\displaystyle p=b-{\frac {a^{2}}{3}}}$   y   ${\displaystyle q={\frac {2a^{3}}{27}}-{\frac {ab}{3}}+c.}$

La fórmula reducida es la que se utiliza entonces para resolver por el método de Cardano, y deshaciendo la sustitución inicial ${\displaystyle x=z-{\tfrac {a}{3}}}$, las soluciones de la ecuación original.

Resolución[editar]

Partiendo de la ecuación

${\displaystyle z^{3}+pz+q=0\,}$

se realiza una sustitución del tipo ${\displaystyle z=u+v}$.Entonces

${\displaystyle z^{3}=\left(u+v\right)^{3}=u^{3}+3uv\left(u+v\right)+v^{3}=3uvz+u^{3}+v^{3}.}$

Para hacer la equivalencia de coeficientes con la ecuación de partida, se toman estos como:

${\displaystyle {\begin{cases}-p=3uv\\-q=u^{3}+v^{3}\end{cases}}}$

que también es equivalente al sistema de ecuaciones

${\displaystyle u^{3}+v^{3}=-q}$

y

${\displaystyle u^{3}\cdot v^{3}=-\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}$.

Llegado a este punto y utilizando las fórmulas de Viète, ${\displaystyle u^{3}}$ y ${\displaystyle v^{3}}$ son las soluciones de la ecuación de segundo grado

${\displaystyle z^{2}+qz-{\frac {p^{3}}{27}}=0.}$

De esta manera, se calcula el discriminante ${\displaystyle \Delta =q^{2}+{\frac {4}{27}}p^{3}\,}$ y se estudia su signo. Dependiendo de si es positivo, negativo o cero se obtendrán unas soluciones u otras.

Si Δ es positivo[editar]

La ecuación posee entonces una solución real y dos complejas. Si se establece que

${\displaystyle u={\sqrt[{3}]{\frac {-q+{\sqrt {\Delta }}}{2}}}\quad {\mbox{y}}\quad v={\sqrt[{3}]{\frac {-q-{\sqrt {\Delta }}}{2}}}.}$

La única solución real es entonces ${\displaystyle z_{0}=u+v\,}$ (recordemos que hay que deshacer el cambio de variable). Además, existen dos soluciones complejas conjugadas :

${\displaystyle {\begin{cases}z_{1}=ju+{\bar {j}}v\\z_{2}=j^{2}u+{\overline {j^{2}}}v\end{cases}}\qquad \mathrm {donde} \qquad {\begin{cases}j=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}=e^{i{\frac {2\pi }{3}}}\\j^{2}=-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}=e^{i{\frac {4\pi }{3}}}\end{cases}}.}$

Si Δ es cero[editar]

La ecuación posee entonces dos soluciones reales, una simple y una doble :

${\displaystyle {\begin{cases}z_{0}=2{\sqrt[{3}]{\frac {-q}{2}}}=-2{\sqrt {\frac {-p}{3}}}={\frac {3q}{p}}\\z_{1}=z_{2}=-{\sqrt[{3}]{\frac {-q}{2}}}={\sqrt {\frac {-p}{3}}}={\frac {-3q}{2p}}\end{cases}}}$

Si Δ es negativo[editar]

La ecuación posee entonces tres soluciones reales. Sin embargo, es necesario hacer una incursión en los números complejos para encontrar todas las soluciones. Las soluciones son la suma de dos complejos conjugados ${\displaystyle j^{k}u\,}$ y ${\displaystyle {\overline {j^{k}u}}}$ donde ^{${\displaystyle u={\sqrt[{3}]{\frac {-q+i{\sqrt {|\Delta |}}}{2}}}}$} y ${\displaystyle k\in \{0,1,2\}\,}$; es el siguiente conjunto :

${\displaystyle {\begin{cases}z_{0}=u+{\bar {u}}\\z_{1}=ju+{\overline {ju}}\\z_{2}=j^{2}u+{\overline {j^{2}u}}\end{cases}}}$

La forma real de las soluciones se obtiene escribiendo ${\displaystyle j^{k}u}$ en forma trigonométrica, obteniéndose :

${\displaystyle z_{k}=2{\sqrt {\frac {-p}{3}}}\cos {\left({\frac {1}{3}}\arccos {\left({\frac {-q}{2}}{\sqrt {\frac {27}{-p^{3}}}}\right)}+{\frac {2k\pi }{3}}\right)}\qquad {\mbox{ con }}\qquad k\in \{0,1,2\}.}$

Aplicaciones del método de Cardano[editar]

El método de Cardano sirve para resolver cualquier ecuación cúbica que se presente en cualquier área de las ciencias como, por ejemplo, para resolver las ecuaciones cúbicas de estado que aparecen en la termodinámica y la fisicoquímica, donde las tres raíces son válidas matemáticamente, pero sólo dos de ellas son válidas físicamente, pues la de menor magnitud, si es que se ha desarrollado la ecuación cúbica en el volumen molar, representa el volumen molar de líquido, mientras que la mayor representa el volumen molar de vapor y la raíz intermedia en magnitud no tiene significado físico. Las mismas interpretaciones se hacen si las ecuaciones se desarrollan cúbicas en el factor de compresibilidad, denotado como Z.

el método de Cardano por dos motivos. El primero de ellos que es necesaria para analizar las órbitas en torno a agujeros negros cargados. El segundo el propio interés intrínseco que tiene la cuestión, estando relacionada con el estudio de los números complejos.

El método de Cardano para la resolución de una ecuación cúbica:

Supongamos que tenemos una ecuación de la forma:

1, Reducción a una ecuación sin término cuadrático:

Si dividimos todos los términos por a y los redefinimos usando letras griegas, esta ecuación es equivalente a:

A partir de aquí, es posible realizar el siguiente cambio de variable para pasar de x a y:

Que lleva asociadas las siguientes expresiones:

Sustituyendo:

Y, teniendo esto, resulta muy cómodo reescribir introduciendo las constantes C y B:

Monomio es una expresión algebraica en la que se utilizan exponentes naturales de variables literales que constan de un solo término (si hubiera una suma o una resta sería un binomio), un número llamado coeficiente.¹​ Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponentes naturales. Se denomina polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio es una clase de polinomio, que posee un único término.

Ejemplos de monomios:

${\displaystyle 5x^{4}y^{6}\;,\quad -x\;,\quad 0,5y^{8}w^{12}}$

Pero:

${\displaystyle x^{-1}\;,\quad 5x^{3/2}}$

no son monomios, porque los exponentes no son naturales.

Un monomio posee una serie de elementos con denominación específica.

Dado el monomio:

${\displaystyle 5x^{3}\;}$

se distinguen los siguientes elementos:²​

• coeficiente: ${\displaystyle 5\,}$ también incluye al signo
• parte literal (exponente natural): ${\displaystyle x\,}$
• grado: ${\displaystyle 3\,}$

El signo te indica si es negativo (–). Se omite si es positivo (+), y nunca puede ser cero ya que la expresión completa tendría valor cero.

La parte literal la constituyen las letras de la expresión.

El grado puede ser absoluto (la suma de los exponentes de su parte literal) o con relación a una letra.

Si un monomio carece de signo, equivale a positivo (+).

Si un monomio carece de coeficiente, este equivale a uno.

Si algún término carece de exponente, este es igual a uno.

Si alguna parte literal no está presente, pero se requiere, entonces se considera con exponente cero, ya que:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} -\{0\}\;:\quad x^{0}=1}$

Dada una variable ${\displaystyle x\;}$, un número natural ${\displaystyle a\;}$ y un número real ${\displaystyle \alpha \;}$ la expresión:

${\displaystyle \alpha \cdot x^{a}=\alpha x^{a}}$

es un monomio.

Si tenemos varias variables: ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$, el número real ${\displaystyle \alpha \;}$ y los números naturales ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\,}$, el producto correspondiente:

${\displaystyle \alpha \cdot x_{1}^{a_{1}}\cdot x_{2}^{a_{2}}\cdot \ldots \cdot x_{n}^{a_{n}}=\alpha x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}\ldots x_{n}^{a_{n}}=\alpha \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{a_{i}}}$

también es un monomio.

Grado de un monomio[editar]

El grado absoluto de un monomio es igual a la suma de los exponentes de las variables que lo componen.

Ejemplos

${\displaystyle 5x^{2}y\;}$ tiene grado 3

pues equivale a la expresión: ${\displaystyle 5\cdot x^{2}\cdot y^{1}\;}$ y la suma de los exponentes es 2 + 1 = 3

${\displaystyle x\;}$ tiene grado 1

pues equivale a ${\displaystyle 1x^{1}\;}$ y respecto de ${\displaystyle x,y\;}$ a la expresión: ${\displaystyle 1x^{1}y^{0}\;}$

${\displaystyle 3y^{2}z\;}$ tiene grado 3

por ser la suma de los grados de los literales: ${\displaystyle 3y^{2}z^{1}\;}$

Monomios semejantes[editar]

Se llaman semejantes a los monomios que tienen la misma parte literal.²​

Ejemplo

Son semejantes los monomios:

${\displaystyle {\begin{array}{r}5\,x^{2}y\\a\,x^{2}y\\-7\,x^{2}y\\x^{2}y\end{array}}}$

pues la parte literal de todos ellos es: ${\displaystyle x^{2}y\;}$

Monomios homogéneos[editar]

Son los monomios que tienen el mismo grado absoluto, se emplean en la solución de un cierto tipo de ecuaciones diferenciales ordinarias.³​

Operaciones con monomios[editar]

Suma y resta de monomios[editar]

Sólo se pueden sumar o restar los monomios semejantes.⁴​

El resultado se obtiene sumando o restando sus coeficientes:

Ejemplo

${\displaystyle 5x^{2}y^{3}+8x^{2}y^{3}-3x^{2}y^{3}=10x^{2}y^{3}}$

Si los monomios no son semejantes, el resultado de la suma o resta es un polinomio.

Producto de monomios[editar]

Dos monomios se pueden multiplicar, efectuando el producto de los coeficientes y de las partes literales, respectivamente.⁴​

Ejemplos

${\displaystyle (6x^{3})\cdot (-4x^{3})=-24x^{6}}$

${\displaystyle \left(4x^{2}\right)\cdot \left(8x^{3}y\right)=32x^{5}y}$

${\displaystyle \left(5a^{2}b^{3}\right)\cdot \left(-3ab\right)\cdot \left(4b^{2}\right)=-60a^{3}b^{6}}$

${\displaystyle \left({\frac {3}{4}}x^{2}y^{3}\right)\cdot \left({\frac {2}{3}}xy\right)\cdot \left({\frac {30}{48}}x^{5}\right)={\frac {5}{16}}x^{8}y^{4}}$

Cociente de dos monomios[editar]

El cociente de dos monomios será otro monomio sólo cuando la parte literal del dividendo es múltiplo de la parte literal del divisor.

Ejemplos

${\displaystyle {\frac {7x^{2}y}{2xy}}={\frac {7}{2}}x}$

sí es un monomio porque: ${\displaystyle x^{2}y\,}$ es múltiplo de ${\displaystyle xy\,}$;

${\displaystyle {\frac {7x^{2}y}{2xyz}}={\frac {7x}{2z}}={\frac {7}{2}}\;{\frac {x}{z}}={\frac {7}{2}}x\;{\frac {1}{z}}={\frac {7}{2}}xz^{-1}}$

no es un monomio porque: ${\displaystyle x^{2}y\,}$ no es múltiplo de ${\displaystyle xyz\,}$ y el exponente del factor ${\displaystyle z\,}$ (del cociente) no es un número natural.

¿Qué es un monomio?

Cuando empiezas a estudiar un idioma nuevo no tienes que aprenderte todas las palabras del diccionario. Al principio te limitas a manejar las estructuras más simples y un vocabulario básico. Con el lenguaje algebraico haremos exactamente lo mismo, nos limitaremos primero a las expresiones algebraicas más sencillas y las operaciones que podemos hacer con ellas.

 DEFINICIÓN Un monomio es el producto de un número conocido (coeficiente) por uno o varios valores desconocidos, representados por letras (parte literal). El grado de un monomio es el número de factores que forman su parte literal (la suma de los exponentes de las letras).

 OBSERVACIÓN El coeficiente del monomio incluye el signo y la parte literal incluye los exponentes de cada una de las variables.

 NOTACIÓN Habitualmente daremos a los monomios (también a los polinomios) un "nombre". La idea es poder hacer referencia a ellos sin tener que escribir el monomio completo. Los nombres de los monomios (y de los polinomios) tendrán dos partes: Una letra mayúscula (lo normal es usar desde la  en adelante) y las variables que forman parte del monomio, entre paréntesis. Por ejemplo:

,          ,          

Con la notación anterior resulta más sencillo hacer referencia al valor numérico de un monomio. El nombre que escogemos está acompañado de las variables del monomio, así que si queremos referirnos a un valor numérico en concreto no tenemos más que escribir el nombre del monomio cambiando las variables por el valor que corresponda. Por ejemplo:

Dado el monomio , en lugar de escribir "valor numérico de  para , ", escribiremos simplemente . En este caso:

 DEFINICIÓN Dos monomios se dicen semejantes si tienen la misma parte literal, es decir, si sus partes literales están formadas por los mismos factores. No es relevante si los factores aparecen en el mismo orden. Por ejemplo, los monomios  y  son semejantes, pero los monomios  y  no lo son.

Dos monomios se dicen opuestos si son semejantes y tienen coeficientes opuestos. Por ejemplo,  y  son monomios opuestos.

 

¿Qué operaciones podemos hacer con monomios?

En la siguiente tabla tienes explicaciones y ejemplos para todas las operaciones que podemos hacer con monomios.

SUMA Y RESTA DE MONOMIOS
SI SON SEMEJANTES	SI NO SON SEMEJANTES
Podemos sacar factor común (la parte literal) y sumar o restar los coeficientes. Ejemplos:	Tenemos que dejar la operación indicada. Ejemplos:
MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS
Aplicamos la propiedad asociativa de la multiplicación y hacemos el producto de coeficientes y de las variables por separado. Es importante usar correctamente la regla de los signos y las propiedades de las potencias (ésta última para la multiplicación de las partes literales). Ejemplos:
DIVISIÓN DE MONOMIOS
Al igual que para la multiplicación, dividimos los coeficientes entre ellos y las partes literales entre ellas. El cociente de dos monomios puede no ser un monomio. Ejemplos:  (No es un monomio)