CONCEPTOS MATEMÁTICOS

SOBRE EL ÁLGEBRA ELEMENTAL

operación binaria (o ley de composición)¹​²​ aquella operación matemática, que necesita el operador y dos operandos (argumentos) para que se calcule un valor.

Dados tres conjuntos A, B y C una operación binaria producto, representando la operación por el signo ${\displaystyle \circ }$, es una aplicación que asigna a cada par de valores ade A y b de B un solo valor c de C, que podemos representar:³​

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circ :&A\times B&\longrightarrow &C\\&(a,b)&\longmapsto &c\end{array}}}$

Podemos expresar la operación:

${\displaystyle a\circ b=c\;,\quad \circ (a,b)=c\;,\quad (a,b){\xrightarrow {\circ }}c}$

Por ejemplo, el operador de suma «+» de números naturales es un operador binario, porque requiere dos argumentos:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}+:&N\times N&\longrightarrow &N\\&(a,b)&\longmapsto &c=a+b\end{array}}}$

y tenemos que:

${\displaystyle 2+3=5\;,\quad +(2,3)=5\;,\quad (2,3){\xrightarrow {+}}5}$

El número de argumentos de una función se denomina aridad.

Clase de operación binaria[editar]

Según los conjuntos A, B y C podemos diferenciar dos tipos de operaciones, las internas en las que A = B = C, y las externas que son todas las demás, se denomina Ley de composición a un subtipo de operación binaria.

Operación interna[editar]

Artículo principal: Operación interna

Si a cada par de valores (a, b) de ${\displaystyle A^{2}}$ la operación le corresponde un valor c de A:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circledast :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledast b\end{array}}}$

se dice que esta operación es interna, también se llama ley de composición interna, así por ejemplo dado el conjunto de vectores de tres dimensiones ${\displaystyle V^{3}}$ y la adición de vectores, se tiene:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}+:&V^{3}\times V^{3}&\longrightarrow &V^{3}\\&(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\longmapsto &\mathbf {c} =\mathbf {a} +\mathbf {b} \end{array}}}$

que la suma de dos vectores de ${\displaystyle V^{3}}$ es otro vector de ${\displaystyle V^{3}}$, por ejemplo, dados los vectores:

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} }$

${\displaystyle \mathbf {b} =b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k} }$

su suma es:

${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} +\mathbf {b} }$

${\displaystyle \mathbf {c} =(a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} )+(b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k} )}$

${\displaystyle \mathbf {c} =(a_{x}+b_{x})\mathbf {i} +(a_{y}+b_{y})\mathbf {j} +(a_{z}+b_{z})\mathbf {k} }$

${\displaystyle \mathbf {c} =c_{x}\mathbf {i} +c_{y}\mathbf {j} +c_{z}\mathbf {k} }$

Operación externa[editar]

Artículo principal: Operación externa

Si la operación no es interna entonces es externa, pudiéndose presentar los siguientes casos:

• Si a cada par de valores a de A y b de B, se le asigna un valor c de A,

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\star :&A\times B&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\star b\end{array}}}$

a esta operación también se denomina ley de composición externa, un ejemplo claro, de esta operación, es el producto de un vector por un escalar:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\cdot :&V^{3}\times R&\longrightarrow &V^{3}\\&(\mathbf {a} ,b)&\longmapsto &\mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot b\end{array}}}$

así, dado el vector:

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} }$

el resultado de multiplicarlo por un escalar b, será:

${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot b\;,\quad \mathbf {c} =(a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} )\cdot b\;,\quad \mathbf {c} =(a_{x}\cdot b)\mathbf {i} +(a_{y}\cdot b)\mathbf {j} +(a_{z}\cdot b)\mathbf {k} }$

• Si la operación es de la forma:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\star :&A\times A&\longrightarrow &B\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\star b\end{array}}}$

en la que a cada par de valores a, b de A se le asigna un c de B, esta operación no se denomina ley de composición, como ejemplo podemos poner el producto escalar de dos vectores, que da como resultado un número real:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circ :&V^{3}\times V^{3}&\longrightarrow &R\\&(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\longmapsto &c=\mathbf {a} \circ \mathbf {b} \end{array}}}$

así dados los vectores:

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} }$

${\displaystyle \mathbf {b} =b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k} }$

su producto escalar será:

${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} \circ \mathbf {b} \;,\quad \mathbf {c} =(a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} )\circ (b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k} )\;,\quad \mathbf {c} =a_{x}\cdot b_{x}+a_{y}\cdot b_{y}+a_{z}\cdot b_{z}}$

• Si la operación asigna a cada par de valores a de A y b de B un c de C, siendo A, B y C conjuntos distintos:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\star :&A\times B&\longrightarrow &C\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\star b\end{array}}}$

es el caso más general, y tampoco se denomina ley de composición, podemos ver el ejemplo de la división de un número entero entre un número natural para dar como resultado un número racional

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}/:&Z\times N&\longrightarrow &Q\\&(a,b)&\longmapsto &c=a/b\end{array}}}$

Operaciones binarias

En primer lugar introducimos el concepto de operación binaria, tanto interna como externa, si bien nos centraremos en el primer caso, puesto que el ejemplo más interesante de operación externa tiene que ver con espacios vectoriales, que se estudiarán con detalle en la correspondiente asignatura del Plan de Estudios (Álgebra Lineal).

Definición 1.1   

i)

Una operación interna `' en un conjunto  es una aplicación

ii)

Una operación externa `' en  con operadores en  (por la izquierda) es una aplicación

En lo que sigue supondremos que `' es una operación interna en . En ese caso, un subconjunto  se dice que es cerrado con respecto a dicha operación si se verifica que

es decir, al hacer operaciones con elementos de  no nos salimos del conjunto . Por otra parte, una operación interna puede cumplir o no (entre otras) las siguientes propiedades:

Asociativa:

, .

Conmutativa:

, .

Elemento Neutro:

, .

Elemento Inverso:

Suponiendo que existe elemento neutro , entonces se dice que un elemento  tiene inverso (u opuesto) si

Distributiva:

Dadas dos operaciones internas `' y `' en , se dice que `' es distributiva respecto de `' si

operación nularia aquella operación matemática en la que el operador no necesita argumento para que se pueda calcular un valor.¹​

Las operaciones nularias son funciones constantes, dado que sin argumentos devuelven siempre el mismo valor. Por ejemplo, la función pi devuelve el número π sin necesidad de argumentos.

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}{\text{pi}}:&\emptyset &\longrightarrow &R\\&()&\longmapsto &a={\text{pi}}()\end{array}}}$

Un caso excepcional sería la función aleatorio. Es una operación nularia, dado que sin argumento alguno devuelve un número aleatorio mayor o igual que cero y menor que uno.

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}{\text{aleatorio}}:&\emptyset &\longrightarrow &R\\&()&\longmapsto &a={\text{aleatorio}}()\end{array}}}$

Por lo cual es válido decir que la función aleatorio es una operación de aridad cero. Esto es, sin argumentos.