CONCEPTOS MATEMÁTICOS

axioma de extensionalidad es un axioma que establece que dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos.

El enunciado del axioma establece que si dos conjuntos tienen los mismos elementos entonces son idénticos:

Axioma de extensionalidad ${\displaystyle \forall A,B\,:\,\forall x,(x\in A\leftrightarrow x\in B)\Rightarrow A=B}$

La afirmación recíproca —dos conjuntos iguales tienen los mismos elementos— es un teorema lógico. Un enunciado equivalente, utilizando la noción de subconjunto, es:

Dados dos conjuntos, A y B, tales que cada uno es subconjunto del otro, A ⊆ B y B ⊆ A, entonces son iguales, A = B.

El axioma de extensionalidad constituye la definición fundamental del concepto de conjunto como una colección abstracta de objetos. El axioma de extensionalidad asegura que los elementos x de un conjunto A son lo único que lo define, es decir, los objetos que están relacionados con él por la relación de pertenencia, x ∈ A. Esto constrasta con otras relaciones como por ejemplo, «ser un divisor primo»: los únicos divisores primos de 6 y de 12 son 2 y 3, pero ambos números son distintos, 6 ≠ 12.

Consistencia relativa[editar]

El axioma de extensionalidad (Ex) es completamente independiente del resto de axiomas de Zermelo-Fraenkel(ZF). La práctica totalidad de los modelos que se construyen para ZF incluyen Ex, luego es consistente con el resto de axiomas. Por otro lado, a partir del modelo de los conjuntos hereditariamente finitos puede construirse otro donde conjuntos con los mismos elementos no sean idénticos pero respetando el resto de axiomas, por lo que Ex no es derivable de estos.

axioma del infinito es un axioma que garantiza la existencia de un conjunto con un número infinito de elementos.

Enunciado[editar]

El axioma del infinito asegura la existencia de un conjunto infinito en el sentido de Dedekind: un conjunto que puede ponerse en correspondencia biyectiva con un subconjunto propio de sí mismo. El enunciado más habitual se basa en propiedad equivalente del conjunto inductivo:

Axioma del infinito ${\displaystyle \exists A:\varnothing \in A\wedge \forall x\in A,\,x\cup \{x\}\in A}$

Es decir, se postula la existencia de un conjunto inductivo, es decir, que contiene al conjunto vacío, y al «sucesor» x ∪ {x} de cada uno de sus elementos x. De este modo se asegura la existencia de un conjunto que contiene a los números naturales en la construcción conjuntista habitual:

${\displaystyle \mathbb {N} =\bigcap \{Y:Y{\text{ es inductivo }}\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\},\ldots \}}$

Independencia[editar]

El axioma del infinito (AI) no puede demostrarse a partir del resto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel(ZF), si estos son consistentes —denotados en conjunto como ZF−AI—.¹​ Puede probarse que todos ellos son ciertos al restringirse a un «universo» de conjuntos finitos escogidos con cuidado (los conjuntos hereditariamente finitos). Es decir, los axiomas de ZF —incluyendo AI— demuestran la existencia de un modelo para ZF−AI+¬AI —ZF sustituyendo AI por su negación—. Por lo tanto, una demostración de AI a partir de ZF−AI daría lugar a una demostración de la consistencia de ZF−AI, en contradicción con el segundo teorema de incompletitud de Gödel. La situación es idéntica en la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel.

axioma del par es un axioma que asegura la existencia de un conjunto que contiene como elementos dos objetos cualesquiera dados previamente.

Enunciado[editar]

El axioma del par afirma que dados dos conjuntos (u otros objetos de la teoría), existe un conjunto con exactamente esos elementos. Su enunciado formal es:

Axioma del par ${\displaystyle \forall A\forall B,\,\exists X:\forall \,W\in X,\ W=A\,\vee \,W=B}$

El axioma de extensionalidad asegura que este conjunto es único, por lo que se demuestra la existencia del conjunto {A, B}, definido como:

${\displaystyle \{A,B\}=X|\forall W\in X,\ W=A\vee W=B}$

Consistencia relativa[editar]

El axioma del par aparece en los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel y de la teoría de Neumann-Bernays-Gödel. Sin embargo, es demostrable a partir del resto de axiomas, en particular del axioma de reemplazo junto con el axioma del conjunto potencia y el axioma del conjunto vacío, por ejemplo.

axioma del conjunto potencia es un axioma que postula la existencia del conjunto potencia de cualquier conjunto; es decir, del conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado.

Enunciado[editar]

El axioma del conjunto potencia afirma que dado un conjunto, existe otro cuyos elementos son exactamente los subconjuntos del inicial:

Axioma del conjunto potencia ${\displaystyle \forall A\,\exists X:\forall B\,,\,B\in X\Leftrightarrow B\subseteq A}$

De este modo se puede designar con propiedad el conjunto potencia de un conjunto dado A:

${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)=X|\forall B,\,B\in X\Leftrightarrow B\subseteq A}$

Consistencia relativa[editar]

El axioma del conjunto potencia (CP) es independiente del resto de axiomas de la teoría de Zermelo-FraenkelZFC. Los conjuntos hereditariamente finitos —conjuntos finitos formados por conjuntos finitos, formados a su vez también por conjuntos finitos, etc.— forman un modelo de todo ZFC salvo el axioma del infinito, por lo que CP no es refutable. Por otro lado, los conjuntos hereditariamente numerables —conjuntos numerables formados por conjuntos numerables, formados por conjuntos numerables, etc.— son un modelo de ZFC con la salvedad de que CP es falso, por lo que este no puede demostrarse del resto de axiomas de ZFC.

esquema axiomático de reemplazo o axioma de reemplazo es un esquema axiomático —una cierta colección de axiomas— que postula que la imagen de un conjunto por una funcióndefinida a través de una fórmula es también un conjunto.

El axioma de reemplazo afirma que existe el conjunto imagen de una «función» definida sobre otro conjunto dado. La función en cuestión está representada por una cierta fórmula arbitraria φ, debido a la incapacidad del lenguaje formal de cuantificar sobre las «relaciones» entre conjuntos:

Esquema axiomático de reemplazo Sea una fórmula con al menos dos variables libres, φ(x, y). La siguiente fórmula es un axioma: ${\displaystyle (\forall x,y,z\,,\,\varphi (x,y)\wedge \varphi (x,z)\rightarrow y=z)\rightarrow \forall A\exists B\,,\,\forall b\,(b\in B\leftrightarrow \exists a\in A:\varphi (a,b))}$

Escrito en palabras: «si φ representa una función, entonces para cada conjunto A existe su conjunto imagen B». Los predicados «representa una función» y «su conjunto imagen» significan, más concretamente, «para cada x, es cierta para un único par ordenado x, y» y «el conjunto de los elementos b que cumplen φ(a, b) para algún a en A». La fórmula φ puede tener parámetros, es decir, puede tener más variables libres que hagan referencia a otros conjuntos no especificados, como por ejemplo:

φ(x, y) ≡ y = x ∪ a

Independencia[editar]

El axioma de reemplazo (AR) no puede demostrarse a partir del resto de teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF), ya que puede construirse un modelo en el que el resto de axiomas sean ciertos, junto con la negación de AR.