CONCEPTOS MATEMÁTICOS

axioma de regularidad o axioma de fundación es un axioma que postula que ciertos conjuntos «patológicos», como por ejemplo un conjunto que se contenga a sí mismo como elemento, no pueden existir. Fue propuesto por Von Neumann y Zermelo entre 1925 y 1930.

La manera en la que se enuncia el axioma de regularidad es asegurando que cada conjunto posee un elemento que es disjunto con él:

Axioma de regularidad ${\displaystyle \forall A\neq \varnothing \,,\,\exists B\in A:A\cap B=\varnothing }$

Una manera equivalente de enunciar el axioma de regularidad es afirmando que todos los conjuntos son regulares, es decir, que la relación de pertenencia ∈ vista como un orden parcial tiene un elemento mínimo en todos los conjuntos. En particular, esto prohíbe la existencia de una sucesión infinita de conjuntos de la forma x₁ ∋ x₂ ∋ x₃ ∋ ... De este modo, es sencillo entender que el axioma de regularidad prohíbe la existencia de conjuntos «patológicos» —no regulares— como por ejemplo:

• Un conjunto que sea su único elemento, . Se tendría entonces que x ∋ x ∋ ...
• Una pareja de conjuntos y y z tales que y = {z}, z = {y}. Se cumpliría y ∋ z ∋ y ∋ ...

Rango[editar]

Una de las consecuencias más importantes del axioma de regularidad es la clasificación de todos los conjuntos por «etapas», construidas a partir del conjunto vacío mediante la reiterada aplicación de la potenciación de conjuntos. Se define para cada ordinal, según sea 0, un ordinal sucesor o un ordinal límite:

${\displaystyle R_{0}=\varnothing {\text{ , }}R_{\alpha +1}={\mathcal {P}}(R_{\alpha }){\text{ , }}R_{\lambda }=\bigcup _{\alpha <\lambda }R_{\alpha }{\text{ ,}}}$

Se tiene entonces el siguiente teorema:

Todo conjunto regular está en algún Rα.

Por esto, el axioma de regularidad se denota usualmente como «V = R», es decir, la clase universal (de la totalidad de conjuntos) y la clase R de los conjuntos regulares (la unión de todos los R_α) son idénticas. Puede clasificarse entonces cada conjunto regular en algún R_α:

El rango de un conjunto regular x es el mínimo ordinal α tal que x ∈ Rα+1.

Consistencia relativa[editar]

El axioma de regularidad (V = R) es totalmente independiente del resto de axiomas de ZF y NBG. La clase R de los conjuntos regulares es un modelo del resto de axiomas de ZF, luego de estos no puede probarse la existencia de un conjunto no regular, y asumir V = R es consistente. De modo similar, puede construirse un modelo del resto de ZF en el que aparezcan conjuntos del tipo , luego es imposible probar la regularidad de todos los conjuntos, y asumir V ≠ R también es consistente.

axioma de unión es un axioma que postula que la unión de una colección de conjuntos cualesquiera existe.

El axioma de unión afirma sencillamente que la unión de una familia de conjuntos —el conjunto que contiene todos los elementos de cada conjunto de la familia— existe:

Axioma de unión ${\displaystyle \forall A\exists X:\forall Y,Y\in X\Leftrightarrow \exists B\in A:Y\in B}$

En palabras: «para cada conjunto A existe otro, X, compuesto exactamente por los elementos de los elementos de A». Esto permite hablar con propiedad de la unión de un conjunto —la unión de todos sus elementos—:

${\displaystyle \bigcup A=X|\forall Y,Y\in X\Leftrightarrow \exists B\in A,Y\in B}$

La unión de dos conjuntos —o un número finito cualquiera— es un caso particular de esta construcción:

${\displaystyle A\cup B=\bigcup \{A,B\}}$

y, adoptando el axioma del par, existe siempre.

Consistencia relativa[editar]

El axioma de unión (AU) es completamente independiente del resto de axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF). En la gran mayoría de los modelos de ZF que se construyen AU es cierto, por lo que es consistente con el resto de axiomas. Por otro lado, existen modelos de ZFC (incluyendo el axioma de elección) en los que el axioma de unión es falso, por lo que no puede demostrarse del resto de ZFC (ni del resto ZF en particular).

axioma del conjunto vacío es un axioma que postula la existencia de un conjunto vacío, es decir, un conjunto sin elementos.

Enunciado[editar]

Axioma del conjunto vacío ${\displaystyle \exists A:\forall B\,,\,B\notin A}$

Mediante el axioma de extensionalidad puede demostrarse que solo existe un conjunto sin elementos (ya que un conjunto se define únicamente por estos), por lo que puede hablarse con propiedad del conjunto vacío:

${\displaystyle \varnothing =X\,|\,\forall B,B\notin X}$

Consistencia relativa[editar]

El axioma del conjunto vacío (CV) es el único axioma de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) y de la teoría de Von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) que postula directamente la existencia de un conjunto, junto con el axioma del infinito. Precisamente este último hace innecesario CV, pues postula también la existencia de ∅. En general, en presencia de un axioma que postule la existencia de algún conjunto (como ocurre en lógica, donde la existencia de al menos un objeto a veces está garantizada) CV se vuelve redundante mediante el axioma de separación: basta con construir un subconjunto cuyos elementos cumplan una propiedad contradictoria.