CONCEPTOS MATEMÁTICOS

la sexta potencia de un número n es el resultado de multiplicar n seis veces por sí mismo. Es decir:

n⁶ = n × n × n × n × n × n.

Las sexta potencia también se puede formar multiplicando un número por su quinta potencia; su cuadrado por su cuarta potencia; el cubo de un número por sí mismo; elevando su cuadrado a la tercera potencia; o elevando su cubo al cuadrado.

La secuencia de sextas potencias de los números enteros es:

0, 1, 64, 729, 4096, 15625, 46656, 117649, 262144, 531441, 1000000, 1771561, 2985984, 4826809, 7529536, 11390625, 16777216, 24137569, 34012224, 47045881, 64000000, 85766121, 113379904, 148035889, 191102976 , 244140625, 308915776, 387420489, 481890304, ... (sucesión A001014 en OEIS)

Incluye números decimales significativos, como 10⁶ (el millón), 100⁶ (10¹², el billón), y 1000⁶ (10¹⁸, el trillón).

Cuadrados y cubos[editar]

Las sextas potencias de números enteros se pueden caracterizar como los números que son simultáneamente cuadrados y cubos.¹​ De esta manera, se relacionan con otras dos clases de números figurados: los números cuadrados triangulares, que son simultáneamente cuadrados y triangulares, y las soluciones al problema de las balas de cañón, que son simultáneamente cuadrados y cuadrados-piramidales.

Debido a su conexión con los cuadrados y los cubos, las sextas potencias juegan un papel importante en el estudio de las curvas de Mordell, que son curvas elípticas de la forma

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+k.}$

Cuando ${\displaystyle k}$ es divisible por una sexta potencia, esta ecuación puede ser reducida dividiendo por esa potencia, para dar una ecuación más simple de la misma forma.

Un resultado bien conocido en la teoría numérica, probado por Rudolf Fueter y Louis J. Mordell, establece que cuando ${\displaystyle k}$ es un entero que no es divisible por una sexta potencia (salvo los casos excepcionales ${\displaystyle k=1}$ y ${\displaystyle k=-432}$), esta ecuación no tiene soluciones racionales con tanto ${\displaystyle x}$ como ${\displaystyle y}$ no nulos o no infinito alguno de ellos.²​

En la notación arcáica de Robert Recorde, la sexta potencia de un número se llamaba el "zenzicubo", lo que significa el cuadrado de un cubo. Del mismo modo, la notación de sextas potencias utilizadas en el siglo XII en la matemática en la India por Bhaskara II también los llamaba el cuadrado de un cubo o el cubo de un cuadrado.³​

Sumas[editar]

Existen numerosos ejemplos conocidos de sextas potencias que pueden ser expresadas como la suma de otras siete potencias, pero no se conocen aún ejemplos de una sexta potencia expresable como la suma de exactamente seis sextas potencias.⁴​ Esto hace única a la sexta potencia entre las potencias con exponente k = 1, 2, ..., 8, que pueden expresarse como la suma de k k-ésimas potencias, y algunas de las cuales pueden expresarse como una suma de aún menos k-ésimas potencias (contradiciendo la conjetura de suma de potencias de Euler).

En relación con el problema de Waring, cualquier entero suficientemente grande puede representarse como una suma de como máximo 24 sextas potencias de enteros.⁵​

Hay infinitas y diferentes soluciones no triviales para la ecuación diofántica⁶​

${\displaystyle a^{6}+b^{6}+c^{6}=d^{6}+e^{6}+f^{6}.}$

No se ha probado si la ecuación

${\displaystyle a^{6}+b^{6}=c^{6}+d^{6}}$

tiene una solución no trivial,⁷​ pero la conjetura de Lander, Parkin y Selfridge implicaría que no lo hace.

Signos más y menos.

Los signos más (+) y menos (–) se utilizan para identificar números positivos o negativos respectivamente. Además son los que representan la adición y la sustracción.

Más y menos proceden de los términos latinos magis y minus.

Historia[editar]

Aunque los signos son similares al alfabeto actual o a los números hindo-arábicos, no son de gran antigüedad. Por ejemplo, los signos de adición y sustracción de los jeroglíficos egipcios eran similares a dos piernas. El símbolo al revés indicaba sustracción:

o

Por otro lado, durante el siglo XV eran utilizados en Europa las letras P y M (por los términos en latín plus y minus).

Los inicios de los símbolos actuales provienen, al parecer, del libro "Behende und hüpscheenung auff allen Kauffmanschafft" (Aritmética Mercantil) escrito por Johannes Widmann en 1489, utilizado para indicar excesos y déficit, aunque de acuerdo al sitio web Earliest Uses of Various Mathematical Symbols (Los usos más tempranos de varios símbolos matemáticos, en inglés), un libro publicado en 1518 por Henricus Grammateususaría por primera vez los signos + y −.

+ es una simplificación del latín "et" (comparable con &), mientras se cree que − proviene de la tilde que era escrita sobre la letra m al utilizar muchas veces este símbolo para indicar sustracción.

Robert Recorde, el creador del signo igual, introdujo los signos más y menos en Inglaterra (1517) por medio de su libro The Whetstone of Witte, donde escribió:

«Hay otros dos signos que pueden ser usados: +, utilizado en la adición, y −, ocupado en la sustracción»

Signo más[editar]

El signo más puede ser utilizado en muchas operaciones matemáticas. Dependiendo del sistema en el que sea utilizado, se representa de una manera o de otra, y ya es otro signo. Por otra parte, el uso del símbolo de suma se ha ampliado a muchos otros usos (más allá de simbolizar la operación de suma en el conjunto de los números naturales o el anillo de los números enteros):

• Disyunción exclusiva (escrita usualmente como ⊕): 1+1=2, 1+0=1, 1+0=1, 0+0=0
• Disyunción lógica (escrita usualmente como ∨): 1+1=1, 1+0=1, 1+0=1, 0+0=0
• Conjunción lógica (escrita usualmente como ∧, corresponde a la multiplicación): 1·1=1, 1·0=0, 1·0=0, 0·0=0
• Concatenación de cadenas de caracteres (escrita usualmente como || o &)

Signo menos[editar]

El signo menos tiene tres^{[cita requerida]} usos en matemáticas:

• La operación sustracción o resta: como en 5−3=2
• El operador inverso aditivo u opuesto: como en −(−3)
• El indicador de que una constante es negativa: como en −8

Un ejemplo en el que se pueden observar los tres usos del signo menos, es en la expresión 3−[−(−2)], la cual se interpreta como la sustracción en donde el minuendo es el número 3, y el sustraendo es el opuesto del número −2.

Nota: El signo menos (–), no debe ser confundido con el guion (-) que es más pequeño, ni con la raya (—) que es más grande. Sin embargo, el signo menos tiene la misma medida que la semirraya (–).

 sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos. Un sistema de numeración puede representarse como:

${\displaystyle {\mathcal {N}}=(S,{\mathcal {R}})}$

donde:

• ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ es el sistema de numeración considerado (p.ej. decimal, binario, hexadecimal, etc.).
• ${\displaystyle S\,}$ es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son {0,1,...9}; en el binario son {0,1}; en el octal son {0,1,...7}; en el hexadecimal son {0,1,...9,A,B,C,D,E,F}.
• ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ son las reglas que nos indican qué números y qué operaciones son válidos en el sistema, y cuáles no. En un sistema de numeración posicional las reglas son bastante simples, mientras que la numeración romanarequiere reglas algo más elaboradas.

Estas reglas son diferentes, para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema.

Para indicar en qué sistema de numeración se representa una cantidad se añade como subíndice a la derecha el número de símbolos que se pueden representar en dicho sistema.

Definición[editar]

Se conoce como un sistema de numeración un conjunto finito de símbolos que se emplea con algún método para asignar numerales , o símbolos numéricos, a los números. Hay diversos sistemas que han sido, o actualmente empleados. Lo que interesa son los principios y conceptos implicados que las particularidades sistémicas. El número de símbolos es finito, varía desde dos hasta treinta o más en otros. ¹​

Clasificación[editar]

Los sistemas de numeración pueden clasificarse en dos grandes grupos: posicionales y no-posicionales:

• En los sistemas no-posicionales los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, que no depende de la posición (columna) que ocupan en el número.
• En los sistemas de numeración ponderados o posicionales el valor de un dígito depende tanto del símbolo utilizado, como de la posición que ese símbolo ocupa en el número.

Por ejemplo, el sistema de numeración egipcio es no posicional, en cambio el babilónico es posicional. Las lenguas naturales poseen sistemas de numeración posicionales basados en base 10 o 20, a veces con subsistemas de cinco elementos. Además, en algunas pocas lenguas los numerales básicos a partir de cuatro tienen nombres basados en numerales más pequeños.

Sistema de enumeración[editar]

Estos son los más antiguos, se usaban por ejemplo los dedos de la mano para representar la cantidad cinco y después se hablaba de cuántas manos se tenía. También se sabe que se usaba cuerdas con nudos para representar cantidad. Tiene mucho que ver con la coordinabilidad entre conjuntos. Entre ellos están los sistemas del antiguo Egipto, el sistema de numeración romana, y los usados en Mesoamérica por mayas, aztecas y otros pueblos.

Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas utilizaban un sistema de numeración de raíz mixta de base 20 (vigesimal). También los mayas preclásicos desarrollaron independientemente el concepto de cero (existen inscripciones datadas hacia el año 36 a. C. que así lo atestiguan).

Sistemas de numeración posicionales[editar]

Artículo principal: Sistema de numeración posicional

El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce como base del sistema de numeración. Si un sistema de numeración posicional tiene base b significa que disponemos de b símbolos diferentes para escribir los números, y que b unidades forman una unidad de orden superior.

Ejemplo en el sistema de numeración decimal

Si contamos desde 0, incrementando una unidad cada vez, al llegar a 9 unidades, hemos agotado los símbolos disponibles, y si queremos seguir contando no disponemos de un nuevo símbolo para representar la cantidad que hemos contado. Por tanto añadimos una nueva columna a la izquierda del número, reutilizamos los símbolos de que disponemos, decimos que tenemos una unidad de primer orden (decena), ponemos a cero las unidades, y seguimos contando.

De igual forma, cuando contamos hasta 99, hemos agotado los símbolos disponibles para las dos columnas; por tanto si contamos (sumamos) una unidad más, debemos poner a cero la columna de la derecha y sumar 1 a la de la izquierda (decenas). Pero la columna de la izquierda ya ha agotado los símbolos disponibles, así que la ponemos a cero, y sumamos 1 a la siguiente columna (centena). Como resultado nos queda que 99+1=100.

El cuenta kilómetros mecánico, al utilizar el sistema de numeración posicional decimal, nos muestra lo anterior: va sumando 1 a la columna de la derecha y cuando la rueda de esa columna ha completado una vuelta (se agotan los símbolos), se pone a cero y se añade una unidad a la siguiente columna de la izquierda.

Pero estamos tan habituados a contar usando el sistema decimal que no somos conscientes de este comportamiento, y damos por hecho que 99+1=100, sin pararnos a pensar en el significado que encierra esa expresión.

Tal es la costumbre de calcular en decimal que la mayoría de la población ni siquiera se imagina que puedan existir otros sistemas de numeración diferentes al de base 10, y tan válidos y útiles como este. Entre esos sistemas se encuentran el de base 2 sistema binario, de base 8 sistema octal y el de base 16 sistema hexadecimal.

También los antiguos mayas tuvieron de numeración posicional el cual ya no se usa.

Teorema fundamental de la numeración[editar]

Este teorema establece la forma general de construir números en un sistema de numeración posicional. Primero estableceremos unas definiciones básicas:

${\displaystyle N\,}$, número válido en el sistema de numeración.

${\displaystyle b\,}$, base del sistema de numeración. Número de símbolos permitidos en el sistema.

${\displaystyle d_{i}\,}$, un símbolo cualquiera de los permitidos en el sistema de numeración.

${\displaystyle n\,}$,: número de dígitos de la parte entera.

${\displaystyle ,\,}$, coma fraccionaria. Símbolo utilizado para separar la parte entera de un número de su parte fraccionaria.

${\displaystyle k\,}$,: número de dígitos de la parte decimal.

La fórmula general para construir un número N, con un número finito de decimales, en un sistema de numeración posicional de base b es la siguiente:

${\displaystyle N={\begin{cases}\langle d_{(n-1)}\ldots d_{1}d_{0},d_{-1}\ldots d_{-k}\rangle =\sum _{i=-k}^{n-1}d_{i}b^{i}\\N=d_{n-1}b^{n-1}+\ldots +d_{1}b^{1}+d_{0}b^{0}+d_{-1}b^{-1}+\ldots +d_{-k}b^{-k}\end{cases}}}$

El valor total del número será la suma de cada dígito multiplicado por la potencia de la base correspondiente a la posición que ocupa en el número.

Esta representación posibilita la realización de sencillos algoritmos para la ejecución de operaciones aritméticas.

Ejemplo en el sistema decimal[editar]

En el sistema decimal los símbolos válidos para construir números son {0,1,...9} (0 hasta 9, ambos incluidos), por tanto la base (el número de símbolos válidos en el sistema) es diez

En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la numeración aplicado al sistema decimal.

${\displaystyle {\begin{matrix}\!\!\!\!\!\!N=d_{n-1}\ldots d_{1}d_{0},d_{-1}\ldots d_{-k}&=&\\&\\d_{n-1}\cdot 10^{n-1}+\ldots +d_{1}\cdot 10^{1}+d_{0}\cdot 10^{0},+d_{-1}\cdot 10^{-1}+\ldots +d_{-k}\cdot 10^{-k}&=&\end{matrix}}}$

${\displaystyle N=\sum _{i=-k}^{n-1}d_{i}\cdot 10^{i}}$

Los dígitos a la izquierda de la coma fraccionaria representados por d_n-1 ... d₂ d₁ d₀ , toman el valor correspondiente a las potencias positivas de la base (10 en el sistema decimal), en función de la posición que ocupan en el número, y representan respectivamente al dígito de las n-unidades (10ⁿ), centenas (10²=100), decenas (10¹=10) y unidades (10⁰=1), ya que como se ve en el gráfico están colocados en las posiciones n-1..., tercera, segunda y primera a la izquierda de la coma fraccionaria.

Observar que las posiciones se numeran a partir de 0, desde derecha a izquierda, por lo que la uĺtima posición para un número de n dígitos enteros, es n-1 y no n, ya que en ese caso sería de n+1 dígitos enteros. El uso de esta numeración a partir de 0 es de utilidad, debido a que la potencia 0-ésima de cualquier número está definida como 1.

Los dígitos a la derecha de la coma fraccionaria d_-1, d_-2, d_-3 ... d_-n representan respectivamente al dígito de las décimas (10^-1=0,1), centésimas (10^-2=0,01), milésimas (10^-3=0,001) y n-ésimas (10^-n) .

Por ejemplo, el número 1492,36 en decimal, puede expresarse como:

${\displaystyle 1492,36=1\cdot 10^{3}+4\cdot 10^{2}+9\cdot 10^{1}+2\cdot 10^{0},+3\cdot 10^{-1}+6\cdot 10^{-2}}$

Ejemplo en el sistema binario[editar]

Véase ahora el sistema binario o de base 2. En este sistema los dígitos válidos son {0,1}, y dos unidades forman una unidad de orden superior.

En la figura inferior puede verse el teorema fundamental de la numeración aplicado al sistema binario.

${\displaystyle {\begin{matrix}\!\!\!\!\!\!N=d_{n}\ldots d_{1}d_{0},d_{-1}\ldots d_{-k}&=&\\&\\d_{n}\cdot 2^{n}+\ldots +d_{1}\cdot 2^{1}+d_{0}\cdot 2^{0},+d_{-1}\cdot 2^{-1}+\ldots +d_{-k}\cdot 2^{-k}&=&\end{matrix}}}$

${\displaystyle N=\sum _{i=-k}^{n}d_{i}\cdot 2^{i}}$

Siguiendo con el ejemplo del cuentakilómetros visto arriba, en este caso las ruedas no tienen 10 símbolos (0 al 9) como en el caso del sistema decimal. En el sistema binario la base es 2, lo que quiere decir que sólo existen 2 símbolos {0,1} para construir todos los números binarios.

En el sistema binario, para representar cifras mayores que 1 se combinan los 2 símbolos {0,1} y agrega una segunda columna de un orden superior.

Aquí las ruedas del cuentakilómetros dan una vuelta cada dos unidades. Por tanto, una vez que se cuenta (suma) dos se han agotado los símbolos disponibles para esa columna, y se deben poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda.

Así, contando en binario, tras el número ${\displaystyle 0_{(2}}$ viene el ${\displaystyle 1_{(2}}$, pero si se cuenta una unidad más se debe usar otra columna, resultando ${\displaystyle 10_{(2}}$.

Se sigue contando ${\displaystyle 0_{(2}}$,${\displaystyle 1_{(2}}$,${\displaystyle 10_{(2}}$,${\displaystyle 11_{(2}}$. Al añadir una unidad a la columna de las unidades, esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los símbolos disponibles), y se debe formar una unidad de segundo orden, pero como ya hay una, también se agotan los símbolos disponibles para esa columna, y se deben formar una unidad de tercer orden o ${\displaystyle 100_{(2}}$. Así, en el sistema binario ${\displaystyle 11_{(2}+1_{(2}=100_{(2}}$.

Ejemplos:

• El número ${\displaystyle 111_{(2}\,}$ está formado por un solo símbolo repetido tres veces. No obstante, cada uno de esos símbolos tiene un valor diferente, que depende de la posición que ocupa en el número. Así, el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor de ${\displaystyle 1_{2}\,(2^{2})}$ , el segundo de ${\displaystyle 1_{2}\,(2^{1})}$ y el tercero de ${\displaystyle 1_{2}\,(2^{0})}$, dando como resultado el valor del número: ${\displaystyle 111_{2}=1\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=4+2+1=7_{10}}$.