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Notación abreviada, línea formulario.

Aquí repaso la notación abreviada de nuestros antepasados siguiendo de cerca el hermoso Tratado sobre cónicas del salmón, pero dibujando algunas figuras más que él. Esta notación es esencialmente la representación de entidades en coordenadas proyectivas con respecto a alguna base ( ProjectiveBase.html ) cuyas coordenadas son líneas M = 0, R = 0, L = 0.

En algún lugar (arbitrario pero fijo) en el plano está el cuarto punto D de la unidad que define el sistema de coordenadas.
(1) aM + bR + cL = 0 , representa una línea arbitraria en el plano.
Un punto P se representa preferiblemente como una intersección de dos líneas:
(2) M-tR = 0, R-t'L = 0 representa un punto arbitrario. Hablamos del punto (t, t ') . M-tR = 0 es una línea a través de C y R-t'L = 0 es una línea a través de A.
(3) att '+ bt' + c = 0 es la condición del punto (t, t ') para pertenecer a línea aM + bR + cL = 0.
(4) {att '+ bt' + c = 0, ass '+ bs' + c = 0}
Es el sistemasatisfecho por una línea que pasa por los dos puntos (t, t ') y (s, s'). Así, resolviendo para (a, b, c):
(5) (t'-s ', ss'-tt', t's '(ts)) son (hasta constantes multiplicativas) los coeficientes de la línea que pasa por los puntos ( t, t ') y (s, s').
De esta manera, al reemplazar en (3) obtenemos la buena afirmación de colinealidad de tres puntos (t, t '), (s', s '), (u, u'):
(6) (t'-s ') uu' + (ss'-tt ') u' + t's '(ts) = 0 .
(7) {att '+ bt' + c = 0, a'tt + b't '+ c' = 0}
Es el sistema satisfecho por el punto de intersección de dos líneas. Así, resolviendo para (t, t '):
Es el punto de intersección de las dos líneas.
Por lo tanto, la condición de concurrencia de tres líneas resulta al reemplazar esto en (3) para una tercera línea, que después de simplificar da:
(9) a '' '(bc'-b'c) + b' '' (a'c -ac ') + c' '' (ab'-a'b) = 0 .
Este es el determinante de los coeficientes de las tres líneas.
La conexión con la notación contemporánea, que prefiere escribir un punto como
(10) P = xA + yB + zC
resulta al reemplazarlo en el sistema (2) (la correspondencia es (M = 0 a x = 0, R = 0 a y = 0 y L = 0 a z = 0) y obteniendo:
(11) t = x / y, t '= y / z , y también
(12) (x, y, z) = k (tt', t ',, con constante arbitraria k.
La relación cruzada de cuatro líneas {Mt _i R = 0, i = 1,2,3,4} que pasa a través de C se puede definir mediante la expresión
(13) cr = [(t ₁ -t ₃ ) / (t ₂ - t ₃ )]: [(t ₁ -t ₄ ) / (t ₂ -t ₄ )].
Esto se ajusta a la definición de la relación cruzada de cuatro puntos en una línea.
(14) M-tR = 0, M + tR = 0 son líneas conjugadas armónicas con respecto al par de líneas {M = 0, R = 0}, todas las líneas que pasan a través de C.

2. Notación abreviada, cónicas.

Aquí las dos líneas se consideran tangentes a la cónica y la tercera es el acorde de los contactos. La ecuación de la cónica obtiene la forma
(1) LM-R ² = 0 .

(2) LM - kR ² = 0 , con la variable k representa todas las cónicas que pasan por {A, C} y que son tangentes a {L, M} de manera correspondiente. El particular se obtiene al requerir que la cónica pase a través de D, lo cual, dado que L (D) = M (D) = R (D) = 1, da k = 1.
Cada punto P en la cónica se puede determinar como la intersección de dos líneas que pasan por A y B:
(3) M-tR = 0, Mt ² L = 0, R-tL = 0 determina un punto P en la cónica: intersección de las líneas R-tL = 0 (a través de A) y Mt ² L = 0 (a través de B), etc.

Cualquier par de los tres puede usarse para determinar la posición de P a través de la posición de las líneas.
La jerga es identificar los puntos P en la cónica con el parámetro t correspondiente, por lo tanto, hablando del punto t en la cónica . Hay que acostumbrarse a este simbolismo. Entonces es bastante práctico y eficaz. Además, refleja el hecho de que las cónicas son imágenes biyectivas de líneas (proyectivas).
(4) Así, el punto t (en la cónica) significa el punto de intersección de las líneas: {M-tR = 0, R-tL = 0} , equivalentemente el par de líneas: {Mt ² L = 0, R-tL = 0 } etc.
Para una línea arbitraria aM + bR + cL = 0, los puntos de intersección con la cónica son puntos t encontrados a través de la solución del sistema:
(5) {aM + bR + cL = 0, R-tL = 0, M-tR = 0}, lo que conduce a la ecuación cuadrática:
en ² + bt + c = 0.
(6) (tt ') L- (t + t ') R + M = 0.
Es la ecuación de la línea (acorde) a través de los puntos P (t) y P (t '), ya que se cumple con P (t): {R-tL = 0, M-tR = 0} y también con P ( t '): {R-t'L = 0, M-t'R = 0}. Si todos estos acordes pasan por un punto fijo Q y luego reemplazan en esta ecuación las coordenadas del punto, vemos que
(tt ') p- (t + t') q + s = 0 con constantes (p, q, s ) es la condición necesaria y suficiente para que los acordes tt 'pasen a través de un punto fijo.
Permitir números complejos para t, t 'la ecuación anterior puede representar cualquier línea del plano, ya que cada línea en este caso tiene dos puntos de intersección (complejos) con la cónica. Para las cónicas reales t, t 'son conjugados complejos, por lo tanto (tt') y (t + t ') son reales.
(7) t ² L-2tR + M = 0. es la (ecuación de) la tangente en P (t), ya que representa la posición límite de la línea anterior cuando t 'tiende a coincidir con t.
Lo contrario también es cierto, ya que uno puede revertir los argumentos:
(8) Teorema Cualquier ecuación lineal de un solo parámetro que puede ponerse en la forma t ² L-2tR + M = 0 , representa una tangente a la LM-R cónica ²= 0. El teorema tiene muchas aplicaciones para encontrar una cónica que envuelve una familia de líneas de un solo parámetro.
La relación cruzada de cuatro puntos P (t _i ) i = 1,2,3,4 en la cónica se puede definir utilizando directamente los valores de t _i como para la relación cruzada de líneas:
(9) cr = [(t ₁ -t ₃ ) / (t ₂ -t ₃ )]: [(t ₁ -t ₄ ) / (t ₂ -t ₄ )]. .
Se puede demostrar que esto es independiente de la representación de las líneas y la relación cónica e igual a la relación cruzada de cuatro puntos Q _i en una línea, que resulta de la proyección de P (t_i ) desde un punto P ₀ en la cónica.

La tangente (7) pasa por un punto P (s, s ') (M = sR, R = s'L) implica t ² - 2ts + ss' = 0. El punto t que está en la cónica implica t = R / L , t ² = M / L por lo tanto
(10) M - 2sR + ss'L = 0 es la ecuación de la polar de P (s, s ').

3. Algunas aplicaciones

Teorema-1 Dados tres acordes fijos de un cónico {AA ', BB', CC '} un cuarto acorde tal que la sección transversal (A, B, C, D) = (A', B ', C', D ' ) es siempre tangente a una cónica que tiene doble tangencia (dos tangentes comunes) con la dada.

La figura muestra tal ejemplo. Los acordes {AA ', BB', CC '} son fijos, D puede moverse libremente en la cónica y D' se calcula de modo que las relaciones cruzadas (A, B, C, D) y (A ', B' , C ', D') son iguales. Las relaciones cruzadas de los puntos se calculan utilizando las coordenadas de línea de las proyecciones de los puntos en dos líneas (podría usar también una sola línea). La prueba (después de Salmon p. 253) es fácil. Suponiendo que A esté dado por un número a (es decir, la intersección de las líneas M-aR = 0, R-aL = 0) y el uso análogo de letras pequeñas para los otros puntos, la condición en la relación cruzada es:
[(ac) / (bc)]: [(ad) / (bd)] = [(a'-c ') / (b'-c')]: [(a'-d ') / (b'-d') ] .
Esto obtiene la forma de una relación homográfica (*)
pdd '+ qd + rd' + s = 0, para ciertas constantes (p, q, r, s) que dependen de (fijo) a, b, c, ... etc.
Resolviendo d 'y sustituyendo en la ecuación (2.6) del acorde DD' se obtiene lo bello expresión
d (qd + s) L + R (d (pd + r) - (qd + s)) - M (pd + r) = 0.
Como se esperaba, esta es una familia de líneas de un solo parámetro (en el parámetro d ) que se puede escribir
d ² (qL + pR) + d (sL + (rq) R-pM) - (sR + rM) = 0.
Del teorema (2.8) se deduce que esta línea envuelve la cónica con la ecuación:
(sL + ( rq) R-pM) ² + 4 (qL + pR) (rM + sR) = 0. (**)
Lo bueno es que esta cónica (más bien su expresión) se puede poner en la forma:
4 (qr-ps) ) (LM-R ² ) + (sL + (q + r) R + pM) ² = 0. (***)
Desde LM-R² = 0 es nuestra cónica y (sL + (q + r) R + pM) = 0 es una línea, la cónica (***) pertenece a la familia generada por nuestra cónica y una línea (doble). Este es un bitangente familia de las cónicas, todos los miembros de los cuales son tangentes a la cónica LM-R ² = 0 en los puntos donde la línea (SL + (q + r) R + pM) = 0 intersecta ella. Tenga en cuenta que los puntos de intersección pueden ser imaginarios, como es el caso, por ejemplo, de la familia de círculos concéntricos, que es una familia bitangente, cuyos miembros son tangentes en los mismos dos puntos imaginarios en las mismas dos líneas imaginarias.
Observación La relación homográfica se vuelve involutiva (ver HomographicRelation.html ) cuando q = r y (*) toma la forma
pdd '+ q (d + d') + s = 0 ,
demostrando que todos los acordes DD 'pasan a través de un punto común (ver 2.6). Por lo tanto, deberíamos excluir este caso desde el principio ya que muestra un comportamiento totalmente diferente.

Teorema-2 Si un polígono de n lados está inscrito en una cónica c y sus lados n-1 pasan a través de los puntos fijos correspondientes, entonces sus n-ésimos lados envuelven otra c 'bitangente c' a c.

La figura muestra un ejemplo para los triángulos. El triángulo ABC se mueve teniendo todo el tiempo sus vértices en la cónica c y dos de sus lados que pasan a través de dos puntos fijos correspondientes {I, J}. Luego, el tercer lado (AB) envuelve otro cono c 'que es bitangente al dado. La prueba se reduce al teorema anterior al tomar tres posiciones diferentes del triángulo y definir los acordes correspondientes {A ₁ B ₁ , A ₂ B ₂ , A ₃ B ₃ }. Entonces para el cuarto triángulo ABC tenemos la preservación de la relación cruzada (A ₁ , A ₂ , A ₃ , A) = (B ₁ , B ₂ , B ₃,SEGUNDO). Esto se debe a que la correspondencia central (involución en) de J: B _i -> C _i conserva la relación cruzada. Esto se debe a la relación homográfica (2.6) ptt '+ (t + t') q + s = 0 con constantes {p, q, s} y al simple hecho de que tales relaciones conservan la relación cruzada. Lo mismo es cierto para la correspondencia de I: C _i -> A _i . Así, componiendo las dos correspondencias tenemos el mapa B _i -> A _i conservando la relación cruzada. Por lo tanto, el teorema-1 se aplica para el lado móvil AB. La prueba es fácilmente generalizada para cualquier n.

Teorema 3 Si un cuadrángulo está inscrito en una cónica y tres de sus lados pasan a través de tres puntos que se encuentran en la misma línea e, luego su cuarto lado pasa también a través de un punto fijo en la línea e.

La prueba de esto pertenece a otro contexto, pero lo puse aquí ya que ofrece un caso excepcional del teorema anterior. El teorema se deriva directamente del teorema de Desargues (ver DesarguesInvolution.html ) que indica que todas las cónicas pertenecientes a una familia que pasa por cuatro puntos intersecan una línea en puntos en involución. Aquí las coordenadas de los puntos de intersección A ₁ (a), B ₍ b), ... satisfarán una relación de la forma pac + q (a + c) + s = 0, pbd + q (b + d) + s = 0, con la constante {p, q, s}. Por lo tanto, si b (B) es constante, entonces la coordenada d de D también será constante.

La siguiente figura muestra que la misma propiedad no es válida para pentágonos inscritos en cónicas. El pentágono mostrado tiene sus cuatro lados que pasan a través de los puntos fijos {A, B, C, D} de manera correspondiente. El quinto lado (XY) aunque no pasa a través de un punto fijo sino que envuelve una cónica bitangente como se indica en el teorema general-2.

La figura muestra además que en este caso la cónica envolvente pasa a través de los puntos de intersección de la línea e que lleva los puntos fijos. Esto se deduce del hecho de que cuando un vértice X del polígono tiende a e, entonces todos ellos tienden a esta línea, y la línea XY tiende a la tangente de la cónica en su intersección con la línea. Así, la cónica envolvente pertenece a la familia cónica generada por la cónica inicial y la línea (doble) e, que tiene una ecuación de la forma c + ke ² = 0, si c = 0 e e = 0 son las ecuaciones de la cónica y La línea, con ka constante.
La siguiente figura muestra otro caso en el que la línea no se interseca con la cónica inicial. Muestra también otro miembro c '' de la familia bitangente c + ke ² .

Finalmente, la última figura muestra que el teorema 3 es nuevamente cierto para los hexágonos. También muestra cómo probar esto: divida en cuadriláteros y aplique el teorema 3 a cada uno de estos cuadriláteros sucesivamente. En la figura, el primer cuadrángulo VWYZ tiene su lado YZ pasando a través de un punto fijo A y luego UXYZ tiene el lado final XY pasando a través del fijo B. Obviamente, uno puede generalizar a:

Teorema-4 Si un polígono de 2n lados está inscrito en una cónica y tiene sus lados 2n-1 que pasan a través de los puntos correspondientes que se encuentran en una línea e, luego su lado 2n-th también pasa a través de un punto fijo en la línea e.

El grupo alterno A ₄

Un árbol que representa los 24 elementos del grupo simétrico S ₄ de cuatro elementos. Las permutaciones denotadas por a _i son los elementos del grupo alternativo A ₄ . A continuación se muestra la tabla de multiplicar de A ₄ , los números que representan los índices de a _i . Una propiedad notable de esta tabla es que para dos elementos en una fila, que son simétricos con respecto a la mitad de la fila, la suma de sus índices es 13. ¿Por qué?