GEOMETRÍA DINÁMICA

Adams Círculo de un triángulo

Considere el triángulo de Gergonne t * = A * B * C * del triángulo t = ABC, cuyos vértices son los puntos de contacto del incírculo (c) de t con los lados de t. Las líneas AA *, BB *, CC * coinciden en el punto de Gergonne. El teorema de Adams (1843) establece que los paralelos a los lados de t * de G, intersectan los lados de t en 6 puntos que se encuentran en un círculo (d) concéntricos al incircle c.

Las siguientes observaciones llevan a la prueba (vea el libro de R. Honsberger: Episodios en la Geometría Euclidiana del siglo XIX y XX, MAA vol. 37, p.63). 
- A'A * = B "B * a causa de la tancency de líneas CB y CA en A * y B * Análogamente C'C * = A''A * y * = B'B C''C *.. 
- Dibuje B ** C ** paralelo a BC de A. Los triángulos B * AC ** y C * AB ** son isósceli y AB ** = AC * = AB * = AC **, es decir, A * A es una línea medial del triángulo A * B ** C **. 
- El resultado anterior se deriva también de los hechos básicos sobre los simmedios, ya que A * A es un [simmedio] del triángulo A * B * C * y C ** B ** es antiparalelo a lado B * C * (C * B * C ** B ** es cíclico, mire Antiparallels.html ). 
- Los triángulos A * B ** C ** y GA'A "son (anti) similares, por lo tanto, A ' A * = A * A ''. 
- Sigue A'A * = A * A '' = B'B * = B * B '' = C'C * = C * C ''. 
- Como I está en la línea media de A'A '', las distancias IA ', IA' 'son iguales y también son iguales a IB' e IB '' e IC ', IC' ', lo que demuestra los puntos A', A '', B ', B' ', C', C '' están todos en el mismo círculo con el centro en I.

Un lema en dos reflexiones.

Los conceptos básicos sobre las reflexiones se describen en el archivo Affine_Reflexion_Basics.html . Aquí la discusión continúa con la investigación de productos de reflexiones. Un papel crucial en la 
discusión desempeña el siguiente hecho: dado un triángulo ABC y un punto D, sea EFG el triángulo de los lados intermedios de ABC. Extienda FG para golpear DE en L y tome LH = LG. Dibuja el 
paralelo HI a AC desde H teniendo su centro J en DF. El triángulo creado de este modo GHI tiene la K central del lado GI en la línea DA.

El lema se prueba, junto con algunas otras propiedades relacionadas de la figura, en la sección 2 del archivo Line_Locus_Criterium.html . Desde el punto de vista de las reflexiones afines, esto implica 
cierta propensión a la composición de dos reflexiones examinadas en la siguiente sección.

 2. Dos reflexiones y una línea.

Indico por f = (L, V) la reflexión afín cuyo eje de puntos fijos es la línea L y la dirección del conjugado viene dada por la dirección de la línea V. Estos datos determinan completamente 
la transformación f, la única desventaja de la notación es La ambigüedad en V, que puede ser reemplazada por cualquier línea paralela a ella. La siguiente propiedad es válida para dos reflexiones 
f _i = (L _i , V _i ), i = 1,2, cuyos ejes se intersecan en el punto O. 
Para cada línea L a O se definen otras tres líneas {V, L ₃ , V ₃ } de modo que las reflexiones correspondientes f ₃ = (L ₃ , V ₃ ) y f = (L, V) tienen la identidad de la composición:
                                                                                                                         f * f ₃ * f ₂ * f ₁   = Id. (*)

La prueba se desprende del lema de la sección anterior. De hecho, para cada punto A en la línea L, tomar B = f ₁ (A) y C = f ₂ (B) define un triángulo que permanece similar a sí mismo 
ya que A varía en L. Por lo tanto, los medios F de los lados AC de estos triángulos varían en una línea L ₃ , mientras que los propios lados permanecen paralelos a una dirección fija representada por una línea V ₃ . 
Por el lema mencionado anteriormente, tomando la mitad G de AB y definiendo H = f ₂ (G), I = f ₃ (H), donde f ₃ = (L ₃ , V ₃ ), obtenemos el triángulo GHI cuyo lado IG tiene su medio en L.
Como A varía en L, la dirección V de GI permanece constante y esto define la reflexión f = (L, V). 
La composición representada por el lado izquierdo de (*) es la identidad de cada punto A en L. Esto es equivalente a la existencia del triángulo ABC que permanece similar a sí mismo para todas las 
posiciones A en L. La misma composición también es constante para cada punto G en la línea L ₁ . Esto es nuevamente equivalente a la existencia del triángulo GHI, que también permanece similar a sí mismo 
para todas las posiciones de G a lo largo de L ₁ . Por lo tanto, las dos transformaciones afines representadas por los dos lados de (*) coinciden con las líneas L y L ₁ , por lo tanto, coinciden en todas partes (ver Affinity.html ). 

Observación-1La propiedad anterior es equivalente al hecho de que tomar cualquier punto X en el plano y definir X '= f ₁ (X), X' '= f ₂ (X'), X '' '= f ₃ (X' ') tenemos f (X '' ') = X. Los 
cuadriláteros con vértices {X, X', X '', X '' '} tienen sus lados paralelos a los V _i ' s y los centros de los lados correspondientes que se encuentran en las líneas L _i . 
Observación-2 La propiedad también puede interpretarse como una propiedad de la composición f ₂ * f ₁ de dos reflexiones. De hecho, dice que para cualquier línea L dada a través del 
punto de intersección O de los ejes de {f ₁ , f ₂ } hay líneas {V,₃ } definiendo otras dos reflexiones f ₃ = (L ₃ , V ₃ ) y f = (L, V) de manera que 
                                                                                                     f ₂ * f ₁   = f ₃ * f. 
Esto también se puede traducir de la siguiente manera: El producto de dos reflexiones f ₂ * f ₁ se puede expresar como producto de otras dos reflexiones f ₃ * f de las cuales el eje de f puede ser 
una línea arbitraria L a través del punto de intersección de Los ejes de f ₁ , f ₂ .

 3. Constelaciones triangulares de reflexiones.

La figura de la sección anterior se puede interpretar de otra manera. Se puede considerar que el triángulo básico ABC y el punto O definen la configuración básica de tres reflexiones 
cuyos ejes pasan a través de los puntos medios de los lados del triángulo y también a través del punto O. Llamo a tales configuraciones constelaciones triangulares de reflexiones con centro en O .

Las tres reflexiones son f ₁ = (OG, AB), f ₂ = (OE, BC), f ₃ = (OF, CA). Luego se define una cuarta reflexión a través de f = (OA, IG) y la última ecuación de la sección anterior 
se puede escribir en la forma 
                                                                                          f ₃ * f ₂ * f ₁ = f, 
que muestra que el producto de las tres reflexiones de un triángulo La constelación es una reflexión con un eje que también pasa por el centro O de la constelación .

 4. Concordancia no constelar.

Uso este término para denotar tres reflexiones f _i = (L _i , V _i ) cuyos ejes L _i son concurrentes en un punto O pero no construyen una constelación triangular. Esto significa que para cada 
punto X las imágenes sucesivas X '= f ₁ (X), X' '= f ₂ (X'), X '' '= f ₃ (X' ') no se cierran a un sistema de vértices de un triángulo, es decir, X '' 'es diferente de X.

En este caso, utilizando los resultados de la sección 2 podemos reducir el producto a otro que sea más conveniente para describir geométricamente.

De hecho, hay otras dos reflexiones {f ', f' '} de las cuales la primera tiene el mismo eje L' = L ₁ con f ₁ , de modo que f ₃ * f ₂ = f '' * f 'y, por consiguiente, 
                                                                                                   f ₃ * f ₂ * f ₁ = f '' * f '* f ₁ , 
por lo que la composición s = (f' * f ₁ ) de dos reflexiones con el mismo eje L ₁ es una cizalla (consulte la sección 4 de Affine_Reflexion_Basics). html ).
Este caso de composición h = f * s, de una cizalla y una reflexión f se analiza en la siguiente sección.

 5. Composición de cizallamiento y reflexión.

Aquí estoy interesado en entender la composición h = f * s de una cizalla s y una reflexión afín f. Utilizo un sistema de coordenadas adaptado a la cizalla con origen en el 
punto de intersección O de la cizalla y la reflexión (esta condición resulta del supuesto básico de la concurrencia de los ejes de tres reflexiones). La matriz S que representa la cizalla s 
tiene la forma

y la reflexión f está representada por una matriz que depende de las dos líneas {L, V} que representan f = (L, V) (consulte la sección 2). Suponga que las líneas están representadas por las ecuaciones 
                                                                                     L: ax + by = 0, 
                                                                                     V: cx + dy = 0. 
Si A denota la matriz de la reflexión afín en el sistema de coordenadas seleccionado, entonces los puntos de estas líneas corresponderán a eigen -vectores de la matriz. Por lo tanto, 
para los vectores típicos (-b, a) y (-d, c), que son puntos respectivamente de L, V, resultará una ecuación matricial

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que el determinante ad-bc = 1. La matriz A se calcula fácilmente y se considera igual a:

De esto se deduce que la matriz de producto correspondiente H = AS, que representa en el sistema de coordenadas seleccionado la composición h = f * s, tiene la forma:

La condición en los coeficientes de H para garantizar la existencia de dos valores propios reales es (álgebra lineal elemental) 
                                                                                           traza (H) ² -4det (H)> 0. 
Es fácil ver que det (H) = -1 y de aquí que la condición anterior se cumple (2kac) ² + 4> 0. Por lo tanto, hay dos valores propios reales k ₁ , k ₂ y en una base que consta de 
vectores propios de H, la matriz de H (teniendo en cuenta que det (H) = -1) tomará la forma

Estas transformaciones intercambian los puntos de la hipérbola xy = 1 con los de su conjugado xy = -1. Resumiendo los resultados en tres reflexiones concurrentes (es decir, 
reflexiones cuyos ejes de puntos fijos concurren en algún punto O) tenemos el resultado: 
Tres reflexiones concurrentes definen un número k positivo y dos líneas a través de O en las que su composición actúa al multiplicar los vectores por k. respectivamente -1 / k. 
Obviamente, el caso de tres reflexiones constelares corresponde a k = 1, que identifica h como la reflexión con el eje que coincide con el eje xy el eje conjugado que coincide 
con el eje y.

 6. Producto de tres reflexiones.

El producto de tres reflexiones arbitrarias en posición general, es decir, reflexiones cuyos ejes, así como las direcciones del conjugado son líneas en posición general, se puede reducir a los casos 
estudiados anteriormente. De hecho, para tres de estas reflexiones f ₁ = (EF, AB), f ₂ = (FG, BC), f ₃ = (GE, CD) podemos reescribir la composición 
                                                                                             f = f ₃ * f ₂ * f ₁
insertando un Reflexión extra dos veces (ya que g ² = Id, es la identidad): 
                                                                                             f = f ₃ * g * g * f ₂* f ₁ , 
donde g = (L, CD) es la reflexión con el eje paralelo al de f ₃ a F, y más adelante es la intersección de los dos ejes de f ₁ y f ₂ , y la dirección del conjugado de g es también que de   
f ₃ . En la discusión en la sección 5, la primera parte (g * f ₂ * f ₁ ) de este producto tiene una representación simple definida por una matriz diagonal. En la discusión en la sección 3 de 
Affine_Reflexion_Basics.html, la composición de las dos reflexiones f ₃ * g es una traducción.

Al adoptar el sistema de coordenadas en el que (g * f ₂ * f ₁ ) está representado por una matriz diagonal (como H 'en la sección anterior), vemos que la transformación, en este caso, se puede 
representar en la forma

En esto, los vectores de columna se identifican con puntos del plano y (u, v) representa la parte de traslación de la transformación correspondiente al factor (f ₃ * g). La 
matriz diagonal en el medio representa una transformación afín (equiafinidad) que tiene el nombre especial ([CoxIntro, p. 209]) rotación hiperbólica y / y estiramiento de Procrustean . Es una 
transformación que preserva tanto la hipérbola xy = 1 como también su conjugado xy = -1. Algunas aplicaciones de este análisis se pueden encontrar en el archivo InscribedTria_In_Tria.html .

 7. Tramo procrustino.

La matriz diagonal que ingresa a la ecuación de la sección anterior puede analizarse aún más en un producto de dos matrices simples que representan correspondientemente dos reflexiones y 
esto en una infinidad de formas.

La matriz típica que representa los factores tiene los valores propios {+1, -1} y los vectores propios correspondientes {(1, a), (-1, a)}. El primero representa la dirección del eje de la 
reflexión y el segundo representa la dirección del conjugado de la reflexión afín.


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