GEOMETRÍA DINÁMICA

 De Longchamps Conic

Considere un punto P y todas las líneas PQ a través de ese punto. Tome los ortopoles O _PQ de estas líneas con respecto al triángulo ABC. 
[1] Los ortopoles O _PQ generan una elipse (conocida como cónica ortopolar de P ). 
[2] Hay un punto único para el cual esta cónica es tangente a todos los lados del triángulo. Este es el punto De Longchamps X (20) del triángulo (ortocentro del anticomplementario de ABC).

Es bien sabido (ver ref. [5]) que la elipse definida en [1] es tangente al deltoide asociado al triángulo ABC, como la envolvente de todas sus líneas de Wallace-Simson. La prueba de [2] se deriva inmediatamente del hecho de que la tangencia simultánea al deltoides y los lados del triángulo solo puede ocurrir en los puntos de tangencia del deltoides con el triángulo que son las trazas de X (69). El último punto es el conjugado isotómico del ortocentro H de ABC (indicado también por X (4)). Sus huellas {A '', B '', C ''} son simétricas con respecto a los puntos intermedios de los lados a los pies de las altitudes {A ', B', C '} de ABC (ver Deltoid.html ).
Esta propiedad implica que P debe estar en la intersección de los ortogonales a los lados en {A '', B '', C ''} que identifica P con X (20) (es simétrico a H con respecto al circuncentro) . 
La observación X (20) está en el pedal cúbico de Rigby definido como el lugar de los puntos P para los cuales las proyecciones {A '', B '', C ''} se unieron a los vértices opuestos {A, B, C} que definen tres líneas concurrentes .

Wallace

Narraré la historia de Deltoid comenzando con la línea de Wallace con respecto a un triángulo (más comúnmente conocida como línea de Simson, aunque Simson no hizo nada al respecto).

[1] Las proyecciones de un punto P del circuncírculo del triángulo ABC en sus lados están alineadas en una línea W (P) (ver Simson.html ). 
[2] El ortopolo P _O de la tangente t _P de P al circuncírculo de ABC está en la línea Wallace W (P) (consulte Orthopole2.html ). 
[3] A medida que P varía en las líneas circulares circulares, W (P) envuelve una curva algebraica de grado cuatro llamada Deltoid . 
[4] El ortopolo P _O de t _P es el punto de contacto de W (P) con el deltoides.

 2. Deltoides

El hecho de que el punto P _O genere la envolvente de las líneas de Wallace se discutió en Orthopole2.html . La discusión que sigue aclarará la afirmación [3]. Primero se comunica la definición habitual del deltoide como un hipocicloide (ver Hypocycloid.html ). 
En el caso más general, los hipocicloides son curvas generadas al girar un círculo de radio b dentro de un círculo de radio a> b. 
Tomando el centro E del círculo fijo como origen, el eje x en la dirección de EA ₂ y el ángulo polar u = ángulo (A ₂ EQ), donde Q es el centro del círculo rodante, las ecuaciones paramétricas de un punto rodante P _O (x, y) (que para u = 0 está en A ₂) son

El ángulo (P''QP _O ) = - (a / b) u. 
En el caso del deltoides, el radio del círculo rodante es 1/3 del radio del círculo en el que rueda (a = 3b), ángulo (P''QP _O ) = -3u = -3angle (A ₂ EQ ), y la ecuación se convierte en 

 3. La media o derivada equilátera.

Para comenzar a establecer la conexión del deltoide con el triángulo, considere la media equilátera o triángulo derivado que es un triángulo equilátero A ₁ B ₁ C ₁ con el mismo circuncírculo que ABC y cuyos ejes de simetría son paralelos a los del deltoides.

Este equilátero se define de la siguiente manera: (i) Sea A ₀ el punto de intersección del circuncírculo de ABC con la línea medial de BC en el mismo lado que A. Define {B ₀ , C ₀ } de manera análoga. (ii) En el arco A ₀ A tome un punto A ₁ tal que la relación de los arcos A ₀ A / A ₀ A ₁ = 3. Defina {B ₁ , C ₁ } de manera análoga. 
Es un ejercicio fácil mostrar que el triángulo A ₁ B ₁ C ₁ es equilátero (ver Derivative.html ).

 4. La intervención de Euler.

Luego comenta el círculo y la línea de Euler (ver Euler.html ) que están muy relacionados con el tema. El círculo de Euler tiene la mitad del radio del circuncírculo y la línea que une su centro E con el circuncentro O es la línea de Euler del triángulo. Dibuje de E paralelos a los ejes de simetría {OA ₁ , OB ₁ , OC ₁ } de la derivada equilátera.

[1] Estos paralelos {EA ₂ , EB ₂ , EC ₂ } son ejes de simetría del deltoides. Coinciden respectivamente con las líneas de Wallace {W (A ₁ ), W (B ₁ ), W (C ₁ )} de los vértices de la derivada equilátera. 
[2] El deltoides es tangente al círculo de Euler. 
[3] Las cúspides del deltoides están en un círculo de radio tres veces mayor que la del círculo de Euler.

[4] El triángulo formado por las cúspides del deltoides y el derivado equilátero son dos triángulos homotéticos. El homothety-center es un punto H 'que se encuentra en la línea OE de Euler de ABC y es simétrico al ortocentro H de ABC con respecto al circuncentro O (H' es X (20) o el punto De Longchamps del triángulo ABC). La relación de homoterapia es la relación de homogeneidad de los círculos circunscritos, es decir, 3/2.

 5. Rodando y envolviendo

La siguiente figura muestra la conexión del círculo rodante a la propiedad envolvente de la línea de Wallace de un cierto punto P del circuncírculo del triángulo ABC. P es un punto de intersección con el circuncírculo de una línea OP paralela a la línea EQ que une los centros del círculo fijo y el círculo rodante.

La mejor forma de analizar la figura es comenzar con el punto P en el circuncírculo de ABC. Su línea Wallace W (P) intersecta el círculo de Euler en un punto P 'que es la mitad del segmento PH que une P con el ortocentro de ABC. Este hecho básico (ver SteinerLine.html ) implica que al tomar la simetría del círculo de Euler con respecto a P ', producimos un segundo círculo (el que gira) con un radio igual al radio del círculo de Euler y tangente a él en P' . 
[1] El cuadrilátero EHQP es un paralelogramo ya que P 'es el centro común de sus diagonales PH y EQ. 
[2] El segmento QP es siempre paralelo a la línea OE de Euler y tiene una longitud fija igual a OH. 
[3] Cuando la línea de Wallace es W (P) = EA ₂ , entonces la línea OP es paralela a EA ₂ .
[4] Dado que dos líneas de Wallace están inclinadas una a la otra por la mitad del ángulo central correspondiente de sus puntos de definición (ver SimsonProperty2.html ) tenemos un ángulo (A ₂ EQ) = 2angle (W (P), A ₂ E). 
Aquí w = ángulo (W (P), A ₂ E) denota el ángulo de las dos líneas. Sigue ese ángulo (QE, W (P)) = 3w y, en consecuencia, el ángulo central (P''QP _O ) = 6w, es decir, el ángulo (P''QP _O ) = -3angle (A ₂ EQ). Esto muestra que el círculo construido a través de la simetría en P 'coincide con el rodante.

 6. Dependencia de los ángulos.

La siguiente figura demuestra la afirmación inicial de que el ortopolo P _O de la tangente t _P es el punto que describe el deltoides a medida que el círculo en movimiento se desplaza hacia el fijo. Esto se hace simplemente calculando la distancia de la línea Wallace desde E que es r * sen (3u), siendo r el radio del círculo de Euler y u el ángulo entre la línea fija EA ₂ y W (P).

Cuando W (P) obtiene la posición ortogonal de t _{P, es decir,} paralela a EQ, u se ha aumentado a 2u + pi, por lo que la distancia de la línea de Wallace correspondiente se ha convertido en r * sen (3 (2u + pi)). Esto es igual a r * (6u-pi) que da la distancia de P _O a EQ. Esto demuestra que P _O está en la línea Wallace que es ortogonal a t _P . Pero el ortopolo de t _{P se} encuentra en W (P) (consulte Orthopole2.html ) y también en la línea de Wallace, que es ortogonal a t _P (consulte Orthopole.html ). Por lo tanto, coincide con P _O .

 7. Otras simetrías.

Hay muchas relaciones ocultas en la figura estudiada hasta ahora. A continuación, registro algunos de ellos como resultado de los argumentos más simples (que omito, ya que son triviales o discutidos en Orthopole2.html ).

[1] La P ₂ simétrica del oropolo P _O de t _P con respecto a P 'está en el círculo de Euler. 
[2] P ₂ P ₃ es la línea de Wallace del antípodas P ₇ de P, intersectando W (P) ortogonalmente en P ₂ . 
[3] P ₁ es el ortopolo de W (P) y se encuentra en la línea S (P) de Steiner de P. La distancia P ₁ P ₂ es igual a la distancia de P de W (P). 
[4] P ₃ es la simetría de P 'con respecto a E. La simétrica de P ₂ con respecto a P ₃ es el punto P ₄en la línea de Wallace ortogonal a W (P) y también el ortopolo de la tangente en el antípodas P ₇ de P. 
[5] Los ortopoles P _O y P ₄ de las tangentes en los puntos antipodales del circuncírculo están en la línea Simson P _O P _4, que es paralelo al diámetro definido por los puntos antípodas PP ₇ y también al diámetro del círculo de Euler P'P ₃ . 
[6] P ₆ es el punto en el circuncírculo cuya línea de Wallace coincide con la línea P _O P ₄ . Es el otro punto de intersección del circuncírculo con el ortogonal de P en W (P).
[7] Por lo tanto, P en el circuncírculo determina un único triángulo rectángulo P ₀ P ₂ P ₄ cuyos lados son tangentes al deltoides. 
[8] Los triángulos rectángulos PP ₆ P ₇ y P'P ₂ P ₃ son antihomotéticos con respecto al centroide G y la relación 2: 1. 
[9] Dado que, mediante la selección apropiada de P, P _O P ₄ puede obtener la posición de cualquier tangente al deltoide, se deduce que las tangentes al deltoid en los puntos de intersección de una tangente con el deltoide se intersecan en ángulo recto en una Apunte el círculo de Euler y defina un diámetro de este círculo paralelo a la tangente. 
[10] Punto P₂ coincide con el ortopolo de diámetro PP _{7, por lo} tanto, se encuentra en la línea de Wallace, que es ortogonal a este diámetro (y también en el círculo de Euler). 
[11] Por lo tanto, P _O P ₄ tiene la longitud de un diámetro del circuncírculo. Como se trata de una tangente arbitraria del deltoides, deducimos que los segmentos cortados por el deltoides en sus tangentes tienen toda la longitud de un diámetro del circuncírculo (consulte Orthopole2.html ). 
[12] Los medios de los segmentos P _O P ₄ están en el círculo de Euler. Así, todos los triángulos rectángulos P ₀ P ₂ P ₄ inscritos en el deltoides tienen el mismo círculo de Euler.
[13] La tercera línea de Wallace a través de P ₂ es la altitud del triángulo rectángulo P ₀ P ₂ P ₄ . Esta es la línea Wallace W (H ₀ ) de un punto H ₀ que es simétrica al ortocentro con respecto a P ₂ . 
[14] PH ₀ P ₇ es el triángulo S _T correspondiente al punto P ₂ y las tres tangentes al deltoides a través de ese punto (ver S_Triangles.html ). Es la traducción paralela de P ₀ P ₂ P ₄ por el vector HP ₂ .

 8. Posiciones particulares

[1] P es antípoda de C. Entonces W (P) coincide con el lado AB, el punto P ₇ es C, P ₂ obtiene la posición del pie de la altitud desde C, P 'toma la posición del centro de AB y P _O , el punto de contacto del lado AB con el deltoides es simétrico al P ₂ con respecto al centro del lado AB. 
[2] P coincide con C. Luego W (P) coincide con la altitud a AB, los puntos {P ₁ , P ₂ } coinciden con el pie de la altitud a AB y el punto de contacto P _O de la altitud con el deltoides es dos veces la distancia de este pie desde la otra intersección de esta altitud con el círculo de Euler.