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Cuadrilátero cíclico

Cuadrilátero cíclico q = ABCD es uno que tiene un círculo circunscrito c. La mayoría de las propiedades que se tratan aquí dependen de las observaciones hechas en el archivo CyclicProjective.html . Aquí hay algunos datos adicionales:
1) Las tangentes en los vértices opuestos de q se intersecan en dos puntos I, J que se encuentran en la e polar del punto de intersección de las diagonales E.
2) Las bisectores g, h, de los ángulos formados por la los lados opuestos de q se intersecan en un punto M en el círculo con diámetro GH, donde G, H son los puntos de intersección de los lados opuestos del cuadrilátero.
3) (I, J, G, H) = -1, es decir, los cuatro puntos forman un tetrade armónico y las líneas g, h son también las bisectrices del ángulo en M del triángulo IMJ.

1) se desprende de la dualidad de polo polar. Como E está en el polar de I, debo estar también en el polar de E, que es e. 2) sigue midiendo el ángulo del triángulo HGM en M en términos de los ángulos de q. 3) es un poco más complicado que involucra el teorema de Brianchon, por el cual las diagonales del cuadrilátero circunscrito q '= NOPQ, se construyen a partir de las tangentes en los vértices de q también se intersectan en el punto E. Luego, por la figura básica discutida en Harmonic.html , se deduce que (I, J, G, H) = -1 y esto implica la afirmación sobre los bissectores del triángulo IMJ, debido a la ortogonalidad de g, h.

Hay una prueba elemental del teorema de Brinachon (para cuadriláteros) discutido en el documento: CircumscriptibleQuadrilateral.html .

Los paquetes de armónicos que tienen dos de las líneas ortogonales, que bisectan el ángulo de las otras dos, se analizan en Harmonic_Bundle.html .

Cuadrángulos cíclicos tienen área máxima.

Problema: dadas las longitudes a, b, c, d, para mostrar que el cuadrángulo cíclico con estas longitudes laterales tiene un área mayor que cualquier otro cuadrángulo con estas longitudes laterales en la misma sucesión.

Prueba basada en una idea de A. Varverakis. Construye el ABCD cíclico con las longitudes dadas. Luego construya en AB un cuadrilátero similar ABEF a ABCD con los vértices en A, B intercambiados. El resultado es un trapecio DCEF. Ahora construya otro cuadrángulo con los mismos lados en la misma sucesión DCHG. Repita la construcción anterior de GHIJ similar a DCHG y los ángulos en G, H intercambiados. Los siguientes hechos se pueden demostrar fácilmente:
1) CD, EF y JI son siempre paralelos,
2) los triángulos DGJ y CHI tienen áreas iguales,
3) la proyección de I (y J) en la línea que lleva a es un punto constante, independiente de los ángulos x y y.
La última afirmación se prueba al calcular el producto interno de los vectores correspondientes , que se evalúa como a * b * cos (x) - c * d * cos (y). Más tarde es igual a (1/2) (a ^ 2 + b ^ 2-c ^ 2-d ^ 2). Más adelante se muestra en el documento BasicQuadrangleIdentity.html .
4) ABDF y GHIJ tienen lados y áreas iguales (DCHG) + área (HGJI) = (1+ (c / a) ^ 2) área (DCHG) correspondientes.
Análogamente, área (DCBA) + área (ABEF) = (1+ (c / a) ^ 2) área (DCBA).
5) Siempre área (DCHG) + área (HGJI) = área (DCIJ) <= área (DCBA) + área (ABEF).

Propiedad cuadrilátera cíclica

Considere un cuadrilátero cíclico q = DEFG inscrito en el círculo c (O, r). Los puntos de intersección K, J de los lados opuestos de (q) definen la línea polar (a) del punto A, siendo A el punto de intersección de las diagonales DF, EG de q (consulte el archivo Polar2.html ). El círculo (d) con diámetro JK es ortogonal al circuncírculo c de q. Además de las mitades X, Y son colineales las diagonales de q y el centro N de (d).

De hecho, según las propiedades analizadas en Polar.html, el polar del punto J es la línea [KA]. Esta línea ortogonal a OJ implica que su punto de intersección M con OJ es el inverso de J con respecto a la inversión definida por el círculo c. Así, el círculo (d) pasa a través de los dos puntos inversos J y M, por lo que es ortogonal a (c).
La figura tiene también otro aspecto. Se puede comenzar con dos puntos B, C en la línea polar JK del punto A. Luego dibuje las líneas secantes [BEAG] y [CDAF] y construya el cuadrilátero q = DEFG, etc. Luego, el círculo (d) depende de la ubicación de B, C en el polar de A, pero siempre es ortogonal a (c), así como el círculo (f), que es la inversa del polar de A. Así (d) es un miembro del paquete ortogonal al círculos (c) y (f). En particular, pasa a través de dos puntos fijos H e I, que son los puntos límite del conjunto de círculos generados por (c) y (f). Observe que la ortogonalidad de los círculos (c) y (d) implica que el polar del centro N de (d) es el eje radical de los círculos (c) y (d) y que esta línea pasa por A. La última afirmación es una consecuencia del teorema de newton.
El documento Cyclic.html analiza algunas propiedades adicionales del cuadrilátero cíclico conectado con el círculo (d).
El documento Polar4.html analiza el mismo tema bajo un punto de vista ligeramente diferente.
El documento Butterfly.html contiene una aplicación de estos hechos a una figura compuesta por acordes de un círculo.
Para el teorema de Newton sobre los puntos intermedios de las diagonales de un cuadrilátero completo, consulte el archivo Newton.html .
Consulte también el archivo OrthodiagonalFromCyclic.html que describe la derivación de un cuadrángulo ortodiagonal de uno cíclico, que contiene también un uso del punto H.
Relacionada con esto está la figura más general de un cuadrángulo inscrito en una cónica. Esto se discute en PascalOnQuadrangles.html .