GEOMETRÍA DINÁMICA

Conchoide de circulo

1) Dibuja un círculo a. 
2) Fijar un punto A, no en a. 
3) Fijar un segmento de longitud d. 
4) Considere un punto B, moviéndose en a. 
5) Construya los puntos X, Y, en AB, de modo que XB = BY = d. 
6) El lugar geométrico de X, Y, para B que se mueve en a, es el conchoide del círculo a. 

Modifique la longitud del segmento d, para ver las diversas formas que toma esta curva.

Cambie la longitud de d y la ubicación del punto A para ver cómo el locus cambia su forma. Para una construcción similar, usando una línea, en lugar de un círculo, mira Nicomedes.html .

Caracterización cónica a través de una función racional.

Se dan dos vectores independientes { E, e } y una función racional de la forma. 
                                                                                       f (t) = (en + b) / (ct ² + dt + e). 
El conjunto de puntos S = {f (t) ( E + t e )} describe paramétricamente un paso cónico a través del origen de las coordenadas. 
A la inversa, cada cónica que pasa por el origen de las coordenadas y cada conjunto de dos vectores independientes { E, e } define dicha función f (t) de modo que el conjunto S correspondiente coincida con la cónica original. 

Para demostrarlo, comience con la ecuación general de una cónica en el sistema de coordenadas definido por { E, e }.
Esta ecuación es de la forma g (x, y) = a ₁ x ² + 2a ₂ xy + a ₃ y ² + b ₁ x + b ₂ y + c ₀ = 0. 
La condición para pasar por el origen es equivalente a c ₀ = 0. 
Tenga esto en cuenta e introduzca la notación. 
                                                        g ( x ) = x ^t U x + V ^t x       (*). 
Aquí x = (x, y), U es la matriz con filas (a ₁ , a ₂ ) y (a₂ , a ₃ ) y V es el vector (b ₁ , b ₂ ). 
Supongamos ahora que f (t) es una función tal que el punto f (t) ( E + t e ) está en la cónica.

Entonces debe satisfacer g (f (t) ( E + t e )) = 0. 
Esto, expandiéndose y simplificando, lleva a la ecuación. 
f (t) [( E + t e ) ^t U ( E + t e )] + V ^t [ E + t e ] = 0. Al 
resolver esto para f (t) vemos que tiene la forma declarada f (t ) = (en + b) / (ct ² + dt + e). 

Lo inverso es igualmente trivial. De hecho, asume eso. 
                     x = t (en + b) / (ct ² + dt + e), y = (en + b) / (ct ² + dt + e).
De esto se deduce que t = x / y. Introduciendo esto en el segundo encontramos que (x, y) satisface. 
                     cx ² + dxy + ey ² -ax - por = 0. 
Esta es la ecuación general de una cónica que pasa por el origen de las coordenadas.

 2. Reconstruyendo la cónica.

Para reconstruir la cónica a partir de la función f (t) cambié ligeramente la notación y escribí. 
                                                                                       f (t) = (en + b) / (a ₁ t ² + b ₁ t + c ₁ ). 
La cónica pasa a través del origen O para el valor t ₁ = -b / a. 
La cónica se cruza con el eje- e una segunda vez cuando t va al infinito. El punto B en el que la cónica atraviesa el e eje x es B = t ₂ e , donde t ₂ = a / a ₁ .
Un tercer punto de la cónica se determina fácilmente a partir de la parametrización. Este es el punto en el que la cónica atraviesa el E- eje. Esto ocurre para t = 0, y el punto es C = t ₃ E , con t ₃ = b / c ₁ . 
Desde la geometría se ve fácilmente que el vector E + t ₁ e define la tangente en el origen. 
También se calcula fácilmente la dirección de la tangente para t = 0 y se muestra como paralela a E + t ₄ e , donde t ₄ = (bc ₁ ) / (ac ₁ -bb ₁). Sea D la intersección de las dos tangentes en O y C correspondientemente. 
La cónica se construye fácilmente como un miembro de la familia bitangente de las cónicas generadas por el par de líneas (DO, DC) y la línea doble (OC). El miembro está completamente determinado a través del requisito de pasar por B. 

Construcción cónica

Para construir una cónica (c) conociendo dos tangentes de ella, su punto de contacto con una de ellas y uno de sus focos. 

La cónica se puede construir fácilmente usando la propiedad en DirectrixProperty.html . De hecho, deje que las tangentes conocidas t _C , t _{X se} intersecten en el punto B y C sea el punto de contacto conocido en una de ellas. Luego, si X es el punto de contacto en el otro ángulo tangente (XAB) = ángulo (BAC) y esto determina X como intersección de la tangente conocida con el reflejo de AC en AB. El otro foco está entonces en un punto Y tal que el ángulo AXY está bisecado por XB. De manera análoga, Y está en la línea CY, de modo que el ángulo ACY está bisecado por CB. Esto permite la construcción de Y como punto de intersección de dos líneas conocidas. 
Es fácil construir los dos focos {A, Y} y los puntos {C, X} en la cónica más adelante. 

Observación-1 También es fácil encontrar el tipo.de la cónica a partir de los datos dados. De hecho, sea U la intersección de XC con la línea AB. Luego, el conjugado armónico V = U (X, C) de U wr a (X, C) está en el polar de A, es decir, la directriz correspondiente a A.Thus, dibujando de V una línea ortogonal a AY construimos la directrxix d _A .Desde esto podemos determinar la excentricidad de la cónica mediante la medición de la relación de las distancias de X desde el enfoque A y la directriz d _A . 
Observación-2 El caso en el que Y está en el infinito, es decir, las líneas XY y CY son paralelas corresponde a la parábola.