GEOMETRÍA DINÁMICA

Notación

En este archivo adopto la representación afín de los puntos del plano, mediante el cual los puntos se representan a través de los 
vectores de columna x = (x, y, 1) ^t y las direcciones a través de los puntos correspondientes en el infinito: u = (u, v, 0) ^t . 
Aquí X ^t representa la transposición de la matriz X. 
La diferencia de dos puntos x-x ' es una dirección. La suma de un punto y una dirección es un punto x '= x + u . 
La adición de puntos no tiene sentido, excepto cuando se forma su baricentro (por ejemplo, su parte media):
                                                   

 1. Ecuación cónica.

La ecuación cónica en coordenadas cartesianas (no es necesario ortogonal) se da en la forma: 
(1) f (x, y) = ax ² + 2hxy + by ² + 2gx + 2fy + c = 0. 
Esto corresponde a una matriz (cuadrática ) ecuación para los vectores   x = (x, y, 1) ^t : 
(2)                                                      x ^t M x = 0, 
donde M es la matriz simétrica:

 2. Cónicas degeneradas.

La cónica se denomina degenerada o singular o reducible , cuando su discriminante es el determinante | M | De la matriz 
es cero. En este caso, la ecuación (2) se divide en una unión de dos líneas reales o imaginarias. Esto se ve más fácilmente por 
álgebra lineal elemental . De hecho, en este caso, la ecuación M x = 0 tiene una solución distinta de cero y la 
matriz simétrica M se puede reducir a través de una matriz ortogonal Q a una forma diagonal:
                                                   

Esto implica que: 
                                                                      x ^t M x = mr ( x ) ² -ns ( x ) ² . 
Donde r ( x ), s ( x ) son dos funciones lineales de x ^t = (x, y, 1). 
Así se puede escribir la ecuación:

Por supuesto, los factores, dependiendo de los signos de {m, n}, pueden ser reales o imaginarios. De todos modos, la resolución en dos 
líneas viene dada por este procedimiento cuando | M | = 0. Para otro procedimiento menos estructural pero más simple para dividir la ecuación 
en el producto de dos líneas, consulte el archivo ConicsDegenerate.html . También se ha demostrado la afirmación inversa de que si 
la ecuación se divide en dos líneas, entonces | M | = 0.

 3. Cónicas genuinas, asíntotas, ejes.

Cónicas auténticas o irreductibles son aquellas para las cuales su discriminante | M | no es cero. 
Pueden investigarse intersecándolos con líneas. De hecho, supongamos que x es un punto en la cónica, es decir, 
satisface f (x, y) = 0 y m (t) = x + t u una línea en forma paramétrica con el vector de dirección 
u ^t = (u, v, 0). Luego, un segundo punto de esta línea en la cónica satisfaría: 
(3) ( x + t u ) ^t M ( x + t u ) = 0. 
Esto implica por (2):
                                                     2t x ^t M u + t ² u ^t M u = 0. 
Si hay un segundo punto diferente de x que se obtiene para t = 0, entonces la t para este punto satisface: 
(4) 2 x ^t M u + t u ^t M u = 0. 
Esta ecuación determina exactamente un segundo punto, excepto en el caso en el que el vector de dirección 
u ^t = (u, v, 0) satisface: 
(5)                                                  u ^tM u = 0. 
Esto es equivalente con la ecuación matricial:

La última submatriz o M ₂ menor de M es el segundo después de M elemento importante de la ecuación. Su determinante J ₂ = ab-h ² caracteriza las tres categorías de cónicas: J ₂ <0 caracteriza="" font="" hip="" j="" las="" nbsp="" rbolas="">₂ = 0 caracteriza las parábolas y J ₂ > 0 caracteriza las elipsis. Viniendo de nuevo a la ecuación (4), si tanto x ^t M u y u ^t M u no son cero, entonces hay un segundo punto de la cónica en la línea de m (t). Las últimas cantidades no pueden ser simultáneamente cero, ya que en ese




En caso de que toda la línea m (t) esté contenida en la cónica y la cónica esté degenerada. Por lo tanto, 
i) si   x ^t M u = 0, entonces u ^t M u no es cero yt = 0 es la única solución de (4). 
     Esto significa que la línea m (t) es una línea tangente a la cónica. 
ii) si u ^t M u = 0 y x ^t M u no es cero, entonces la condición puede interpretarse 
     como que define un segundo punto de intersección de la cónica en el infinito (escribir t = 1 / s y dejar que s converja a 0). 
Así las hiperbolas caracterizadas por J ₂ = ab-h² <0 a="" direcciones="" dos="" estas="" font="" l="" las="" nbsp="" neas="" paralelas="" que="" tales="" tiene="">
direcciones intersecan la cónica en un solo punto. Las parábolas con J ₂ = 0 tienen una sola dirección y las 
elipses con J ₂ > 0 no tienen tales direcciones. 
Las dos direcciones determinadas por (5) en el caso de hipérbolas se denominan asíntotas . 
Sus bisectrices son dos direcciones ortogonales llamadas los ejes de la cónica. 
La única dirección determinada por (5) en el caso de las parábolas se denomina eje de la parábola (consulte la sección 11 a continuación). 
En todos los casos los ejes son ejes de simetría de la cónica.
La dirección de los ejes es paralela a las direcciones de los vectores propios de la matriz M ₂ . Esto se deduce de un 
cálculo fácil.

 4. Tangentes en puntos de la cónica.

En la sección anterior, la línea m (t) que pasa a través de un punto x de la cónica es una tangente precisamente cuando: 
                                   u ^t M u no es cero pero   x ^t M u = 0. 
El punto general de la línea y = m (t) = x + t u también satisface: 
                                   x ^t M y y = x ^t M ( x + t u ) = 0. 
Así, en el punto x de la cónica, la ecuación de la tangente viene dada (en función de y ) por: 
(6)                                x ^t M y= 0.

 5. Polar de un punto.

La línea tangente de una cónica en un punto de la misma es un caso particular de una línea más general asociada a un punto 
con respecto a una cónica. De hecho, dado el punto x , no necesariamente en la cónica, la ecuación (6) tiene 
sentido y define una línea (wr a la variable y ), por supuesto, dependiendo de x y la cónica. 
Esta línea más general p _X definida mediante (6) se denomina polar de x con respecto a la cónica.

El polar se caracteriza geométricamente como el locus de los puntos Y para los cuales la relación cruzada (A, B, X, Y) = - 1, es decir 
, el locus de los conjugados armónicos Y de X con respecto a {A, B}, que son Los puntos de intersección de 
una línea variable a través de X con la cónica. Denotando la línea a través de X como de costumbre con m (t) = x + t u,
los puntos de intersección son las raíces de la ecuación: 
                                                      (m (t)) ^t M (m (t)) = 0, 
que equivale a la cuadrática: 
(7) t ² ( u ^t M u ) + 2t ( x ^t M u ) + (x ^t M x ) = 0. 
Si t ₁ , t ₂ son las raíces de esta ecuación, entonces el conjugado armónico de X viene dado por el parámetro 
t ₃ = 2t ₁ t ₂ / (t ₁ + t ₂ ) (se deduce de Harmonic.html 2.1 estableciendo h = 0), que por las 
identidades bien conocidas para producto y suma de raíces se reduce a: 
(8) t ₃ = - ( x ^t M x ) / ( x ^t M u ). 
Así el locus de los conjugados armónicos.y a x se describe mediante: 
(9)                                                 y = x - [( x ^t M x ) / ( x ^t M u )] u , 
y (6) se rellena fácilmente. 
La p _X polar en sus intersecciones {D, E} con la cónica tiene tangentes que pasan a través de X. Esto se ve considerando 
el vector y _{0 que} representa dicha intersección. Satisface tanto (6) como la ecuación de la cónica y ₀ ^t M y ₀ = 0,
de ahí también la ecuación de la tangente: 
                                                    y ₀ ^t M ( y ₀ + t ( x - y ₀ )) = 0.

 6. Tangentes desde un punto.

La existencia de una doble raíz de la ecuación (7) implica que la línea correspondiente    y _t = x + t u    interseca 
la cónica en un solo punto, es decir, es una tangente a la cónica. La condición en los coeficientes es: 
                                                   ( x ^t M u ) ² - ( u ^t M u ) ( x ^t M x ) = 0. 
Entonces se verifica fácilmente que y _t satisface una ecuación similar: 
                                                   ( y_t ^t M x ) ² - ( y _t ^t M y _t ) ( x ^t M x ) = 0. 
Esta es una ecuación cuadrática reducible en un producto de dos líneas que son las tangentes a la cónica desde el punto x .

 7. Conjugación, polo de una línea.

Dos puntos {X, Y} representados por x e y respectivamente se llaman conjugados con respecto a la cónica 
si se cumple la ecuación (6). Esta es una relación simétrica (debido a la simetría de M). Esto implica que si Y es en la p polar _X
de X, entonces también X está en la polar de p _Y . De hecho, la cónica define a través de su matriz una transformación biyectiva: 
(10) F _M : P ² -----> P ^2 * ,        x | ------> x ^t M, 
del plano proyectivo P ² sobre su dual P ^2* Consiste en todas las líneas de P ² . Este es un ejemplo de una correlación y en la 
bibliografía anterior se hace referencia a la reciprocidad polar con respecto a una cónica. Para cada punto X este mapa corresponde la 
p polar _X . Resulta que este mapa es una proyectividad entre los dos espacios proyectivos. Su inversa G = (F _M ) ^-1
corresponde a cada línea p representada por sus coeficientes (q, r, s) el punto X ( x ) que tiene para la línea p dada la línea polar. Este punto 
se llama el polo de p y se encuentra resolviendo la ecuación (con k constante constante):
(11)                                             x ^t M = k (q, r, s). 
Esto es equivalente con la ecuación lineal:

involucrando la matriz simétrica inversa M ^-1 . La naturaleza proyectiva de F _M hace que corresponda a cada línea 
p la línea X ^* de P ^{2 * que} consiste en todas las líneas a través del polo X de p (decimos que X ^* es el lápiz de líneas a través de X). 
Para cada par de puntos (X, Y), la línea L _XY es el polar del punto de intersección Z de los polares 
{p _X , p _Y }. Para cada par de líneas (p, q), su punto de intersección X _pq es el polo de la línea definida por los 
polos (X _p , X _q) de (p, q). Además de la razón doble a lo largo de una línea de p y el correspondiente pencilof líneas a través de 
su polo X _p se conserva por F _M . 
Todas estas cosas maravillosas hacen que los teoremas del plano proyectivo sean "dobles". La fijación de una cónica y tomando 
las imágenes de las líneas A a la F _M cada teorema sobre las líneas y las coincidencias en los transforma a un correspondiente 
teorema para sus puntos (polos) y las líneas que unen them.Inversely todo teorema sobre los puntos y las líneas que los unen 
se transforma en un teorema acerca líneas (sus polares) e intersecciones de ellas. Esta es la dualidad muy celebrada 
definida por una cónica.

 8. Centro de la cónica.

El centro de la cónica se puede definir como el polo de la línea en el infinito (z = 0). Así, por la sección anterior es 
el punto definido por la ecuación:

En particular para las parábolas (ab-h ² = 0) el centro es un punto en el infinito, por lo tanto, sobre su polar, por lo tanto la parábola 
toca la línea en el infinito en su centro. Para las otras cónicas (centrales), el centro está determinado por sus coordenadas cartesianas:

Para las cónicas centrales cuyo centro O es un punto ordinario, cada línea que atraviesa el centro cruza la cónica en dos 
puntos {A, B} que son simétricos con respecto al centro. Esto se deduce del hecho de que el conjugado armónico 
de O con respecto a (A, B) está en el infinito, de acuerdo con la definición del centro.

 9. doble cónica

Las tangentes a la cónica están dadas por (11) para los puntos x en la cónica. De ello se deduce que sus coeficientes 
y = (q, r, s) ^t satisfacen la ecuación resultante al sustituir x en la ecuación cónica:

Como la ecuación de la cónica se puede multiplicar por una constante, a menudo la última ecuación se escribe en términos de la 
matriz adjunta M ^# de M, que es M ^-1 multiplicada con el determinante | M | de M. 
El argumento se puede invertir y muestra lo siguiente: 

Corolario Si los coeficientes L ^t = (q, r, s) de una línea satisfacen una ecuación cuadrática: 
                                                                      L ^t N L = 0, 
con una matriz simétrica no degenerada N , entonces la línea envuelve una cónica, es decir, es tangente a una cónica, 
es decir , la cónica: 
                                                                       x ^t N ^# x = 0.

 10. Direcciones conjugadas, ejes cónicos.

Los conjugados son direcciones (es decir, vectores de la forma (s, t, 0)) que son conjugados con respecto a M: 
(12)                                                  u ^t M v = 0. 
Las direcciones del conjugado se definen por el medio de las cuerdas dibujadas en una dirección paralela fija u . 
De hecho, si x ₁ y x ₂ = x ₁ + k u son dos puntos de la cónica, entonces: 
                                      x ₁ ^t M x ₁ = 0,   x ₂ ^t M x ₂ = 0.
Más adelante implica sustituir x ₂ : 
                       ( x ₁ + k u ) ^t M ( x ₁ + k u ) = 0, que es equivalente a: 
(13) 2 x ₁ ^t M u + k u ^t M u = 0. 
En en el otro lado, los medios de los segmentos definidos por x ₁ y x ₂ se definen por: 
                                      y = ( x ₁ + x ₂ ) / 2 =   x₁ + (k / 2) u . 
De este modo, teniendo en cuenta el producto y teniendo en cuenta (13), encontramos:
                             y ^t M u    = ( x ₁ + (k / 2) u ) ^t M u = 0.
Esto muestra que las medias y de las cuerdas paralelas en la dirección u satisfacen la ecuación lineal:
(14)                                                         y ^t M u    = 0.
Escribiendo la línea descrita por   y en forma paramétrica   y = y ₀ + t v obtenemos:
                                                 y ₀ ^t M u + t v ^t M u = 0. 
Dado que esto se cumple de manera idéntica para todo t implica tanto: 
(15)                            y ₀ ^t M u = 0 y        v ^t M u = 0. 
El primero muestra que la tangente en y ₀ coincide con la dirección de los acordes paralelos. 
El segundo prueba la afirmación inicial sobre la conjugación de la dirección de los acordes y la dirección de 
la línea de sus medios. 
En particular los vectores propios de M _2.Son las únicas direcciones ortogonales que también son conjugadas. 
Dado que los acordes paralelos en una dirección están biseccionados por el diámetro del conjugado, se deduce que 
las direcciones de los vectores propios de M ₂ son los ejes de simetría de las cónicas. Estos se llaman 
ejes de la cónica .

 11. Los casos de parábola e hipérbola rectangular.

Respecto a la conjugación de diámetros, el caso de la parábola merece una atención especial. 
Primero debe notarse que la relación concierne realmente a la submatriz:

Esto debido a la tercera coordenada cero de u, v . En el caso de la parábola, el determinante 
| M ₂ | = 0, por lo tanto, el rango de la matriz es uno y por álgebra lineal elemental hay un vector 
w tal que la matriz se puede representar como:

Esto significa que para todas las direcciones u , todas v = M ₂ u son colineales y, en consecuencia, 
para todas las direcciones posibles u la ecuación: 
                                                          v ^t M u = v ^t M ₂ u = 0, 
define los vectores v que apuntan en la misma dirección. Esta es la dirección del eje de la parábola, 
y sucede que los conjugados de todas las direcciones en el caso de la parábola coinciden con la dirección del eje . 
El caso de la hipérbola rectangular ocurre cuando las dos direcciones asintóticas determinadas por la ecuación (5)
son ortogonales Esto equivale a la condición: 
                                                              a + b = 0.

 12. Reducción a la forma canónica.

Al seleccionar los ejes de la cónica como ejes de coordenadas y el centro como origen de las coordenadas, obtenemos 
la forma canónica de una cónica central, que luego se representa mediante una matriz diagonal de la forma:

La reducción se puede estudiar en [Loney, I, p.323], [Eisenhart, p. 208]. La ecuación matricial resulta entonces fácilmente.