GEOMETRÍA DINÁMICA

Dominio de convexidad para cuadriláteros.

Considere un cuadrángulo convexo p = (BCDE) y un punto A dentro de él. Construye el cuadrángulo q = (FGIH), teniendo como vértices las reflexiones de A en los lados de p. El problema es encontrar el dominio de convexidad de q. Esto significa encontrar todas las ubicaciones para A, para las cuales el q resultante es convexo. 
En la figura, la región de convexidad es la región amarilla, delimitada por dos lados del cuadrángulo y dos arcos de círculos, formados por los puntos de intersección de los lados opuestos de p. Cuando A está en uno de estos arcos, en BC dice, entonces las reflexiones de A en los lados del triángulo BCK están en una línea (Steiner / Simson). 
Mire Domain_of_Convexity.html , para ver una figura relacionada. La generalización para polígonos (convexos) con más de cuatro lados es obvia. 

MirarConvexity_Domain_Entire.html , para todo el dominio de convexidad, es decir, cuando A no está restringido para estar dentro del cuadrángulo.

Teorema de Droz Farny

Los lados de un triángulo t = (FCG) están cortados por dos líneas ortogonales a = (IL) y b = (OL) a través del ortocentro del triángulo. Sean M, P, N los puntos de corte de a con los lados del triángulo. Sean R, Q, S los correspondientes puntos de corte con los lados de la otra línea b. Divida los segmentos MR, PQ y NS en una proporción fija k = DE / AB. a través de los puntos correspondientes U, T y V. Luego, estos tres puntos están en una línea. 
La curva azul es la envoltura de las líneas Droz-Farny, ya que el punto de pivote I varía en el circuncírculo de t.

 Dualidad

Normalmente, por dualidad nos referimos a una bijección entre un plano proyectivo P ² y su dual , que se define como el conjunto de p-líneas (líneas proyectivas) de P ² . Este conjunto vuelve a tener la estructura de un plano proyectivo. Para ilustrar las ideas, considere el plano proyectivo P ² , identificado con el conjunto de líneas electrónicas (líneas euclidianas) a través del origen de R ³ . Dicha línea e está representada por [x], donde x = (x ₁ , x ₂ , x ₃ ) es un punto no cero de R ³ . Las líneas proyectivas de P ² (llámenlas p-lines) consisten de todas las líneas electrónicas de R ³acostado en un plano e (plano euclidiano) a través del origen. Por lo tanto, los puntos [x] de esta línea p satisfacen una ecuación de la forma a ₁ * x ₁ + a ₂ * x ₂ + a ₃ * x ₃ = 0. Indica el conjunto de múltiplos distintos de cero de a = (a ₁ , a ₂ , a ₃ ) por [a]. Cada [a] representa una línea p de P ² y el conjunto de todas estas [a] construye una copia de P ² llamada dual de P ² y denotada por P ^2 * .

La relación básica entre los puntos [x] de P ² y los puntos [a] de P ^2 * es la coincidencia , expresada por la igualdad a ₁ * x ₁ + a ₂ * x ₂ + a ₃ * x ₃ = 0. La ecuación que expresa que el punto p [x] está en la línea p [a], o de manera equivalente, que la línea p [a] pasa a través del punto p [x]. 
La relación a ₁ * x ₁ + a ₂ * x ₂ + a ₃ * x ₃ = 0, se puede leer desde dos lados.
Primero, arreglando [x] y considerando que todos [a] satisfacen esta relación. 
Segundo, corregir [a] y considerar que todas las [x] satisfacen esta relación. 
En el primer caso, todas las [a] 's definen una línea p en P ^{2 * que} consiste en el paquete de líneas p que pasan por [x]. Denotamos este paquete por [x] *. En términos de nuestros ojos euclidianos, esta idendifica la línea [x] con todos los planos que contienen esta línea. El mapa [x] -> [x] * establece una bijección natural entre los espacios proyectivos P ² y (P ^2 * ) ^* (aunque no hay una bijección intrisecular entre P ² y P ^2 * ).
En el segundo caso, todas las [x] 's definen una línea p de P ^{2 que} consiste en todos los puntos p de P ² contenidos en la línea [a]. Podríamos denotarlo con [a] *, pero esto se identifica con [a]. En abstracto tenemos la relación [x] ^* * = [x]. 
Lo importante es que el conjunto de líneas de P ² tiene la misma estructura que el propio P ² . Además, las líneas de P ^2 * se identifican con [x] *, es decir, el conjunto de líneas a través del punto [x]. Así, las dos condiciones se convierten en equivalentes: 
(1) línea [a] = unión ([x], [y]), para los puntos [x], [y] de P ² y [a] una línea de P ² (equivalentemente a punto de P ^2 *). 
(2) punto [a] = inter ([x] *, [y] *), [x] *, siendo [y] * líneas de P ^2 * y [a] siendo un punto de P ^2 * . 


Por lo tanto, en los teoremas de geometría proyectiva, al cambiar las palabras punto <---> línea y verbos se unen <---> intersectamos obtenemos dos nuevos teoremas. Los nuevos teoremas son válidos en P ^2* , que es isomorfo a P ² . Entonces decimos prueba por dualidad y probamos solo una versión de los dos teoremas duales. 
Un caso típico es el teorema de Desargues (ver Desargues.html ). 

Teorema
I y II a continuación son equivalentes. 
(I) Para los triángulos [x] [y] [z], [x '] [y'] [z '], líneas [a] = join ([x], [x']), [b] = join ([y] [y ']), [c] = join ([z] [z']) son concurrentes, es decir, hay un punto [w] que se encuentra en las tres líneas [a], [b], [c ]. 
(II) Puntos de intersección de lados [p] = inter ([xy], [x'y ']), [q] = inter ([yz], [y'z']), [r] = inter ([ zx], [z'x ']) se encuentran en la misma línea [e]. 

Aquí [xy] denota la línea [f] = join ([x], [y]), [yz] denota [g] = join ([y], [z]), etc. 
Supongamos que probamos que I = > II. Luego, para demostrar II => Tomo el dual de II: 
[p] ([xy], [x'y ']) lee: línea [p] * puntos de unión [f] y [f'] (en el espacio dual P ² *). 
[q] ([yz], [y'z ']) lee: línea [q] * puntos de unión [g] y [g'
[r] ([zx], [z'x ']) lee: línea [r] * puntos de unión [h] y [h'] (en el espacio dual P ² *). 
se encuentran en la misma línea que [e] lee: [p] *, [q] *, [r] * se intersecan en [e] (nuevamente en P ^2 * ). 
Por lo tanto, II se traduce: 
para los triángulos [f] [g] [h], [f '] [g'] [h '] de P ^2 * líneas se unen ([f], [f']), join ([g ], [g ']), join ([h], [h']) son concurrentes. Pero esto es solo lo que dije para el espacio dual P ^2 * . Por la parte probada del teorema se deduce que: 
[u] ([fg], [f'g ']) etc. están en la misma línea [o] * (de P ^2 *). Pero [fg] es [x], [f'g '] es [x'], [u] es la línea [xx '] etc. Por lo tanto, [u], [v], [w] está en la misma línea [o] * significa que la línea [xx '] pasa por [o] y similar hace [yy'] y [zz ']. 
Así, el dual (II ') de (II) es (I) reformulado en el espacio proyectivo P ^2 * . También el dual (I ') de (I) es (II) reformulado en P ^2 * . Si descartamos la naturaleza propia de los espacios proyectivos (es decir, considerando que P ² y P ^2 * son abstractamente lo mismo), vemos que {I => II} y {II => I} expresan la misma proposición en dos espacios proyectivos diferentes. 
Una situación similar surge en el teorema de Pappus, que es auto-dual. es decirPappusSelfDual.html ). Otro ejemplo de dualidad es el de los teoremas de Brianchon y Pascal.

 Disección de Dudeney de un triángulo equilátero.

Disección de Dudeney de un triángulo equilátero en un cuadrado. 
El triángulo t = (ABC) es equilátero. D, E son los medios de sus lados. F y G las proyecciones de E, D en AB. Los tres cuadrados (1), (2), (3) creados y el triángulo (4) están vinculados en D, E y F.

En la figura anterior, los 4 puntos (1), (2), (3), (4) y X son puntos de control, que permiten el movimiento de los polígonos correspondientes. Puede capturarlos y transformar la imagen en un triángulo equilátero o un cuadrado.