GEOMETRÍA DINÁMICA

El problema de los puntos nodales.

Divide los lados de un triángulo en n1 (5), n2 (7), n3 (9) partes iguales respectivamente. 
Determine el número N (n1, n2, n3) de puntos (como A y B arriba), donde se juntan las líneas de las tres familias de líneas de unión. Caracterizar los tripples con N = 0. ¿Qué triples tienen una N grande? 
¿Cómo se relacionan N (k * n1, k * n2, k * n3) y N (n1, n2, n3)? Generalizar a polígonos convexos con número impar de lados.

Según el teorema de Ceva, suponiendo que los cevianos dividen el lado en el que terminan en una relación 
AF / AB = a, BD / BC = b, CE / CA = c => 
abc = (1-a) (1-b) ( 1-c). (Steiner I. p.167) 
Configurando a = z1 / n1, b = z2 / n2, c = z3 / n3, para enteros positivos y zi menos que ni => 

z1 * z2 * z3 = (n1-z1) * ( n2-z2) * (n3-z3). (***)

Por lo tanto, el problema es equivalente al problema de la teoría de 
números : dados los enteros positivos (> 2, digamos) n1, n2, n3, encuentre todas las soluciones de (***) en los enteros positivos 
z1, z2, z3, con zi N (n1, n2, n3) es el número total de estas soluciones. 

por ejemplo, en la figura grande (z1, z2, z3) = (2, 3, 6) y (n1-z1, n2-z2, n3-z3) = (3, 4, 3) son las únicas soluciones. En general, si (z1, z2, z3) es una solución, entonces (n1-z1, n2-z2, n3-z3) también es una solución. Por lo tanto, el mapa (z1, z2, z3) | ---> (n1-z1, n2-z2, n3-z3) deja el espacio invariante solución-espacio. En particular, si todos (n1, n2, n3) son pares, entonces (n1 / 2, n2 / 2, n3 / 2) siempre es una solución. Si hay algún número impar entre los números (n1, n2, n3), entonces las soluciones deben aparecer en pares, por lo tanto, N (n1, n2, n3) es un número par. 

El caso n1 = 2, n2 = n3 = x es fácil (puntos en la mediana). Debe z1 * z2 = (x-z1) * (x-z2) => 
x = z1 + z2. Entonces N (2, x, x) = x-1. Por otro lado, para n2 diferentes, n3 no hay solución, ya que esto llevaría a la ecuación n1 * n2 -z1 * n2 - z2 * n1 = 0. Si n1, n2 son primos entre sí, esto es imposible. El caso no principal también se puede reducir a la prima. 

La ecuación general (***) representa una superficie algebraica (cúbica) en el espacio. Queremos los puntos de esa superficie que tienen coordenadas enteras (positivas) y caen en cierto paralelepípedo.

División en relación dada

Dadas las tres líneas {a, b, c} que se intersecan en un punto O y otro punto P, dibuje desde P una línea (e) que se divide en dos partes (x, y) entre las tres líneas dadas, de modo que su relación x / y = k para una constante dada k.

Seleccione en un segmento arbitrario AC un punto D dividiéndolo en la relación dada k. Luego dibuja arcos viendo estos segmentos debajo de los ángulos (a, b) y (b, c) respectivamente. Los arcos se intersecan en un punto B y definen un triángulo ABC y su secante BD, de modo que los ángulos son (BA, BD) = (a, b) y (BD, BC) = (b, c). Dibuja desde un punto arbitrario X de la línea un triángulo OXY similar a ABC. 
Luego dibuja desde P un paralelo a XY. Esta es la solución. 
Existe una solución más simple para el caso k = -1, es decir, cuando la línea b define la mitad del segmento. Basta con tomar un punto arbitrario Q en b y dibujar desde allí los paralelos a y b que definen un paralelogramo con una diagonal OQ. La otra diagonal es la dirección deseada a la que un paralelo desde P define la secante que resuelve el problema.

 Una funcion de distancia

La siguiente figura muestra la gráfica de la función de distancia y = d (A, B) = f (x) de dos tangentes paralelas en los puntos X y B de la elipse c y el círculo c ', el centro de c' que se encuentra sobre el menor Eje de la elipse. La función f (x) es una periódica que depende de x que mide el ángulo polar de X (x es el llamado ángulo excéntrico de la elipse). La figura solo contiene el gráfico durante un período de la función, es decir, el gráfico sobre el intervalo [0, 2 * pi].

Dependiendo de la posición relativa de los dos círculos y de la forma de la elipse, la función f (x) puede tener cuatro o dos extremos locales dentro de su intervalo de períodos. En el caso particular en el que c es un círculo concéntrico para c ', la función es, por supuesto, una constante. La lupa muestra el comportamiento de la función (ampliada por un factor de 50) en la vecindad de un mínimo local M.

Dominio de la convexidad.

Dado el hexágono regular p = (HIJKFG) y un punto E dentro de él. Refleje sucesivamente E en los lados del hexágono para obtener los vértices del hexágono q = (LMRPNO). Para algunas posiciones de E q es convexo. La simetría sobre el centro de p, limitada por arcos circulares, dominio amarillo, es el dominio de convexidad de q. Para todos los puntos fuera de este dominio, el polígono q no es convexo. El área de q llega a ser máxima cuando E coincide con algún vértice de p.