GEOMETRÍA DINÁMICA

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Cevianos y paralelos

Considere un triángulo ABC un punto G, los cevianos de él, el triángulo ceviano DEF, el A'B 'polar trilineal de G, etc. Luego, tome paralles a los lados del triángulo en distancias respectivas h ₁ , h ₂ , h ₃ . Encuentre una condición necesaria para la h _i , de modo que los puntos de intersección {D ', E', F '} de estos paralelos con los lados de DEF estén nuevamente en una línea.

Después de Menelao, una condición necesaria y suficiente para la colinealidad de {D ', E', F '} es (F'D / F'E) * (D'E / D'F) * (E'F / E'D ) = 1. Denotando por [D, AB] la distancia del punto D desde la línea AB, esto equivale a la condición:

Esta propiedad se usa en EqualCirclesAtVertices.html para probar la perspectiva de dos triángulos importantes.

 Definición de Chasles-Steiner de una cónica.

La definición de cónica de Chasles-Steiner ([ChaslesConiques, p.5], [Baker, p. 73]), ilustrada en la siguiente figura, se puede describir de la siguiente manera. 
Considere los dos lápices A * y B * de las líneas a través de los puntos A y B de manera correspondiente y una relación homográfica L '= F (L) entre las líneas de los dos lápices. 
El método de definición de Chasles-Steiner describe una cónica como el lugar geométrico de los puntos de intersección P de las líneas L y L '.

 2. Parametrización de lápiz

El lápiz A * de todas las líneas a través del punto A se puede parametrizar mediante los puntos de una línea E arbitraria pero fija (proyectiva). A cada línea L a Corresponde al punto de intersección Q de L con E. Introducción de coordenadas (proyectivas) para la línea E podemos corresponder a L un número definido x. Varios sistemas de coordenadas de este tipo, correspondientes a diferentes posiciones de la línea de parametrización E, están relacionados por relaciones homográficas x '= (ax + b) / (cx + d) (ver HomographicRelation.html ).

 3. Una prueba de la reclamación.

Para probar la afirmación de la sección 1, en la generación de cónicas, utilizo un sistema de coordenadas proyectivas, es decir, coordenadas baricéntricas (consulte Coordenadas baricéntricas.html ) con respecto a un triángulo con vértices {A, B, C}. El punto C se toma como uno de los puntos del lugar, es decir, uno de los puntos de intersección de la línea L con la línea F (L). Los lápices se parametrizan con la ayuda de una línea E que pasa por C.

En tal sistema de coordenadas, los puntos de la línea E se representan como C + tD y la relación homográfica viene dada por una función f (t) = (at + b) / (ct + d) .  
Dado que C se asigna a sí mismo f (0) = 0, es decir, b = 0. D es un punto fijo en la línea E. Escribiendo D en la forma D = pA + qB + rC tenemos para X las coordenadas proyectivas (tp, tq, 1 + tr) y para Y = F (X) las coordenadas (f ( t) p, f (t) q, 1 + f (t) r). La línea L tiene coeficientes dados por el producto vectorial (1,0,0) x (tp, tq, 1 + tr) = (0, -1-tr, tq). 
La línea L 'tiene coeficientes dados por el producto vectorial (0,1,0) x (f (t) p, f (t) q, 1 + f (t) r) = (1 + f (t) r, 0 , -f (t) p). 
Su punto de intersección viene dado por el producto vectorial (0, -1-tr, tq) x (1 + f (t) r, 0, -f (t) p) = ((1 + tr) f (t) p , tq (1 + f (t) r), (1 + tr) (1 + f (t) r)).
Al igualar este vector con (kx, ky, kz) y eliminar {t, k} encontramos después de un cálculo corto   
                                                                                              (c + r (ad)) xy + (-ap) yz + (dq) zx = 0 . 
Esta es la ecuación de un paso cónico a través de los tres puntos básicos {A, B, C} del sistema de coordenadas. Consulte el archivo ChaslesSteinerExample.html para ver otro ejemplo en el que se realiza un cálculo similar dando una propiedad característica de los hipérbolas. Consulte también el archivo Maclaurin_Chasles_Steiner.html para obtener una explicación de la relación de este teorema con el anterior de Maclaurin (consulte Maclaurin.html ).

 4. El caso degenerado.

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que el punto D coincide con la intersección de la línea de parametrización E con la línea AB. Desde la expresión D = pA + qB + rC, esto es equivalente con la condición r = 0 e implica la forma más simple de la ecuación de la cónica   
                                                                                                (c) xy + (-ap) yz + (dq) zx = 0 .  
El determinante de la matriz correspondiente que representa la cónica en estas coordenadas (hasta el factor -2) es Det = cadpq.
La cónica está degenerada (producto de dos líneas) si y solo si Det = 0, dando así la condición cadpq = 0. Aquí {p, q} son diferentes de cero, ya que de otro modo D coincidiría con A o B. Por lo tanto, la condición es equivalente con cad = 0. De nuevo, {a, d} son diferentes de cero, ya que de lo contrario la relación homográfica sería constante. Por lo tanto, Det = 0 es equivalente con c = 0 y la ecuación matricial se reduce a   
                                                                                                z (dqx - apy) = 0 .  
que expresa de hecho el producto de las dos líneas   
                                                                                                z = 0   y   (dq) x - (ap) y = 0 .  
La primera línea coincide con AB y la segunda pasa por C y el punto en la línea AB: D '= (ap) A + (dq) B. Así llegamos al resultado.  
Si la generación de Chasles-Steiner produce una cónica degenerada, una de las líneas es la línea a través de los polos (A, B) del procedimiento .  

Observación Un criterio de degeneración es el descubrimiento de tres puntos colineales que se encuentran en el lugar descrito por el procedimiento de Chasles-Steiner. Este comentario tiene muchas aplicaciones para configuraciones particulares. Un ejemplo se da en la siguiente sección. Vea también Chasles_Steiner_Line_Locus.html .

 5. Línea locus

Dado un triángulo ABC, una línea p y dos puntos {B ', C'} en el lado BC considera todos los puntos P en la línea p. Sea {B _x , C _y } los puntos de intersección de las líneas {B'P, C'P} con los lados {AB, AC} respectivamente. Suponga que {x, y} denota las coordenadas de estos puntos para sistemas de coordenadas de línea a lo largo de {BA, CA} que comienzan respectivamente en {B, C}. Entonces estas coordenadas satisfacen una relación de la forma y = ax / (bx + c). 
La inversa también es válida, es decir, si en los lados se toman {BA, CA} puntos {B _x , C _y }, de tal manera que sus coordenadas {x, y} satisfacen la relación anterior, luego las líneas {B'B _x , C'C _y } se intersecan en un punto P que describe una línea p, ya que x varía.  

La prueba de la propiedad sigue al componer dos relaciones homográficas que describen las perspectivas a través de los puntos {B ', C'}. El primero corresponde a B _x de la línea AB el punto punto P en la línea p. El segundo corresponde a P en lin p punto C _y . La composición de los dos es la correspondencia B _x -> B _y descrita por la composición de dos transformaciones de Moebius que también es una transformación de Moebius, lo que demuestra la afirmación (consulte HomographicRelation.html , HomographicRelationExample.html ). 
Lo inverso sigue de la sección anterior. De acuerdo a ello si {B _x , C _y} están relacionados por tal relación, entonces el punto de intersección de las líneas {B'B _x , C'C _y } describe un acónico que pasa a través de los puntos {B ', C'}. Pero la cónica pasa también a través del punto límite F en BC que resulta para x -> 0 (se puede calcular analíticamente, ver cálculo a continuación). Por lo tanto, la cónica contiene una línea (BC) y debe estar degenerada, por lo tanto, P describe una segunda línea que pasa por F.

Para encontrar la posición límite F de P para x -> 0 proyecto P en BC a F '(no dibujado). Luego PB '= PF' / sin (B '), PC' = PF '/ sin (C'). Del triángulo BB'B _x es (sine-theorem) (x / sin (B ')) = BB' / sin (B _x ) => sin (B ') = (x / BB') sen (B _x ) . Una expresión análoga para sin (C ') da PB' / PC '= sin (C') / sin (B ') = ((y / CC') sin (C _x )) / ((x / BB ') sin ( B _x )) y como el límite y / x para x -> 0 es (a / c), la igualdad anterior da que FB '/ FC' = (a / c) (BB '/ CC') (sin (C ) / sin (B)).