GEOMETRÍA DINÁMICA

Teorema de Desargues (triangulos de perspectiva)

Comience desde un triángulo t = (ABC), un punto D y una línea e. Dibuje los puntos de intersección A ', B', C 'en los lados de t de la línea (h) a través de D, paralela a e. Únete a AA ', BB', CC 'y construye el triángulo t' = (A''B''C '') de estas líneas. Repita el procedimiento reemplazando t con t '. Todos estos triángulos son perspectiva a t en las líneas fijas f, g, h, k, que dependen solo de t, D y e.

 Teorema de la involución

Esto amplía la figura básica por la cual definimos homografías involutivas en líneas (ver InvolutionBasic.html ). Esto se hace intersectando una línea (e) con las cónicas (c) que pasan a través de cuatro puntos {A, B, C, D} en posición general (cada triple no colineal). También restringimos la línea para que no pase a través de los cuatro puntos básicos {A, B, C, D}, así como tampoco para que pase a través de los puntos de intersección de los lados opuestos {E, F, G} del cuadrilátero. 
El teorema de Desargues afirma que hay una involución f en (e) que intercambia cada par de puntos (W ₁ , W ₂ ) interceptados en (e) por las cónicas que pasan por los cuatro puntos {A, B, C, D} .

La prueba es esencialmente la misma que se da en la referencia anterior. Consideramos los paquetes de las líneas A (W ₁ , D, C, W ₂ ) y B (W ₁ , D, C, W ₂ ). Definen la misma relación cruzada a través de las intersecciones en la línea (e): (W ₁ , Y ₁ , Z ₂ , W ₂ ) = (W ₁ , Z ₁ , Y ₂ , W ₂ ) = (W ₂ , Y ₂ , Z ₁ , W ₁ ). Por lo tanto, hay una relación homográfica f en la línea (e) mapeo: f (W ₁ ) = W ₂ , f (Y ₁ ) = Y ₂, F (Z ₁ ) = Z ₂ y f (W ₂ ) = W ₁ . Como intercambia W ₁ y W ₂ es involutivo. Como tal, está definido únicamente por el requisito de asignar Z ₁ a Z ₂ e Y ₁ a Y ₂ . Así es independiente de la cónica (c). 

Surge un caso especial cuando D tiende a coincidir con A. En ese caso, DA se convierte en una tangente a la cónica y el teorema de Desargues se convierte en una propiedad de los triángulos inscritos en las cónicas. Esto se discute en DesarguesInvolution2.html .
El teorema de Desargues se transfiere con la misma redacción a las cónicas definidas en el complejo espacio proyectivo. Cada dos cónicas tienen cuatro puntos de intersección y los argumentos se transfieren textualmente. Una consecuencia de la validez del teorema en el caso complejo se demuestra en el archivo DesarguesInvolutionComplex.html .

Desargue el teorema de involución relacionado con los triángulos.

Considere la familia de todas las cónicas que pasan por tres puntos {A, B, C} en posición general y tangente en A a una línea (t). Por cada línea (e) que no pasa por ninguno de estos puntos, las cónicas de la familia intersectan la línea en los puntos W ₁ , W ₂ en involución. 
La involución f está determinada únicamente por los dos pares de puntos (X ₁ , X ₂ ) y (Z ₁ , Z ₂ ) donde la tangente y la línea BC se intersecan (e) y donde AB, AC se intersecan (e) respectivamente.

Esta propiedad se obtiene como un caso especial del teorema de Desargues Involution (ver DesarguesInvolution.html ), en el cual identificamos dos puntos de los cuatro {A, B, C, D} involucrados en el teorema original. En la figura anterior, esto se hace para A y D. 


En la figura anterior, construyo la variable cónica (c) tangente a (t) en A y pasando a través de B y C, utilizando el haz de círculos generado por los dos círculos en diámetros X ₁ X ₂ y Z ₁ Z ₂ . Para determinar una cónica como (c), tome un punto arbitrario Y ₁ en la línea (e) y el círculo de miembros del paquete a través de Y ₁ . El otro punto de intersección Y ₂de este círculo con la línea (e) está la imagen de Y ₁ debajo de la involución f en la línea (e). Los cinco puntos {A, B, C, Y ₁ , Y ₂ } determinan la cónica (c). El argumento con el paquete de círculo se explica en InvolutionBasic2.html . 
Otro caso especial de este caso del teorema de Desargues Involution se obtiene al permitir que B coincida con C. Esto se trata en DesarguesInvolution3.html .

Caso especial del teorema de involución de Desargues.

En realidad, este es un caso especial del caso especial discutido en DesarguesInvolution2.html . Allí vimos que una línea (e) intersecta las cónicas que pasan por {A, B, C} y tangente a una línea dada (t) en A, en pares de puntos en involución.

Dejando que C coincida con B obtenemos la siguiente figura, en la que Z ₁ , Z ₂ coinciden con Z.

El teorema de Desargues ahora afirma que Z es un punto doble de la involución definida en la línea (e) por los puntos de intersección W ₁ , W ₂ de las cónicas que pasan por {A, B} y están allí tangentes a dos líneas dadas. 
Tenga en cuenta que el otro punto fijo Z 'de la involución en (e) es el conjugado armónico de Z con respecto a W ₁ , W ₂ (o X ₁ , X ₂ ). Esto se puede ver considerando el haz de círculos generado por los dos círculos con diámetros W ₁ W ₂ y X ₁ X ₂ . El motivo de esto se explica en InvolutionBasic2.html .
La propiedad anterior se puede utilizar para construir el paso cónico a través de tres puntos y dos tangentes. Esto se discute en Conic3Pts2Tangents.html