GEOMETRÍA DINÁMICA

Desargue el teorema de la involución en el complejo espacio proyectivo.

El teorema de Desargues para familias de cónicas que pasan por cuatro puntos (ver DesarguesInvolution.html ) también es válido para las cónicas en el complejo espacio proyectivo PC ² . 
La definición formal y la prueba del teorema son las mismas que en el caso real. 
Surge un caso particular para la familia de cónicas reales generadas por dos cónicas (reales) c ₁ , c ₂ que no tienen ningún punto de intersección real. Sin embargo, para cualquier línea (e), las intersecciones de las cónicas miembros con la línea definen el punto X ₁ , X ₂ en involución.

La prueba resulta del teorema en el plano proyectivo complejo, considerando las cónicas c ₁ y c ₂ como cónicas de ese plano. Los círculos (d) con diámetros X ₁ X ₂ en la línea (e) forman un haz de círculos. Este es nuevamente un caso particular del teorema anterior.

Diámetro - Propiedad de ángulo

Desde un punto variable F en el diámetro AB de un círculo c, dibuje las líneas FI, FH igual 
inclinadas al diámetro. Sus puntos de intersección IH definen un acorde de longitud constante.

Para ver la prueba, haga clic en el botón rojo de "mostrar prueba". Tenga en cuenta que el triángulo FIJ, a continuación, se muestra, es 
un isósceles. Una consecuencia de esto es que cada punto M de IH describe un círculo, mientras F se mueve sobre 
AB. 
Problema 1: ¿Cuál es la envoltura de IH, cuando <(AFI), <(HFB) son constantes pero no son iguales? 
Problema 2: ¿Cuál es la envoltura de IH, cuando AB no es un diámetro sino una cuerda del círculo?

 2. Diámetro de la propiedad

Desde un punto fijo O del diámetro AB del círculo c, trace una línea que intersecte el círculo en los puntos 
{C, D}. Las líneas {AC, AD} intersecan el tangetnt en B en los puntos {C ', D'}. Demuestre que BC '* BD' = k es 
constante [Carnoy, pág. 126].

Establecer d = | AB |. Entonces d ² = AD * AD '= AC * AC' => CC'D'D es un cuadrilátero cíclico. 
El circuncírculo c 'de este cuadrilátero pasa a través de los puntos fijos {F, F'} en AB. 
Por lo tanto, BC '* BD' = BF * BF 'es constante. 
La prueba de la afirmación sobre la constancia de {F, F '} se deduce de las relaciones. 
i) AF * AF '= AD * AD' = d ² (constante), 
ii) OF * OF '= OC * OD = OB * OA (también constante).

Director circulo de elipse

El lugar de los puntos A, desde el cual las tangentes a una elipse fija (c) forman un ángulo recto en A, es un círculo con radio. 

Aquí, a, b, son los ejes mayor / menor de la elipse. El círculo (d) se llama círculo [director] de la elipse.

La prueba se desprende de los comentarios (del mongraph de Demetrios Bounakis en las secciones cónicas, p. 163): 
- Los focos se proyectan en las tangentes, a los puntos G, G ', H, ... yacen en el círculo auxiliar c = ( K, KI). 
- Las proyecciones de los focos sobre la tangente: EG, FH, tienen | EG || FH | = | FG '|| FH | = | FO || FP | = (a + c) (ac) = b², para c = | EF | / 2. 
- | AI | ² = | AM || AN | = | GE || FH | = b². Por lo tanto, | AK | ² = | AI | ² + | IK | ² = a² + b². 
Para conocer el significado de las constantes, así como otros datos básicos sobre la elipse, consulte Ellipse.html . 
Problema: encuentre el lugar geométrico de los puntos P que ven la elipse bajo un ángulo fijo (phi).