circuitos eléctricos

Función escalón unitario

La función escalón unitario es una función matemática que tiene como característica, el tener un valor de 0 para todos los valores negativos de su argumento y de 1 para todos los valores positivos de su argumento, expresado matemáticamente seria de la forma:

Para t=0 se tiene que el proceso ocurre instantáneamente, puesto que el argumento de u(t) es el tiempo t, que cambia de un valor negativo a uno positivo. Esta función normalmente se utiliza para presentar variables que se interrumpen en algún instante de tiempo, para esto se multiplica la función escalón unitario por la función que define la variable en el tiempo, como se muestra a continuación. En la siguiente figura se tiene la gráfica de una función f(t) definida como:

Si se toma esta función y se multiplica por la función escalón unitario u(t), se obtiene la siguiente gráfica:

Como se puede observar la función f(t)*u(t) inicia en cero y continua en adelante con los mismos valores de f(t), esto seria la representación de un interruptor que se encuentra abierto y en un tiempo t = 0, se cierra y la señal que se observa a partir de este momento tiene como valor f(t).

Aunque esta señal es muy útil, en algunos casos no se desea que la señal inicie exactamente en t=0, sino que inicie antes o después como se demuestra en la figura:

En las dos imágenes anteriores se realizo un corrimiento sobre el eje del tiempo, en una se hizo hacia la izquierda y en otra hacia la derecha, en ambos casos se vario la forma de u(t), es así, que para realizar el corrimiento hacia la izquierda se cambio la función u(t) por u(t+1), logrando un corrimiento hacia la izquierda de 1, dando como resultado que la función f(t) no inicie en t = 0, sino que inicie en t = -1,si se desea que el valor de t para que inicie la función f(t) sea por ejemplo t = -5, solo se debe variar u(t) a u(t+5) y multiplicarlo por f(t); así mismo, para realizar el corrimiento hacia la derecha de la función f(t)*u(t) se debe variar u(t), en este caso se resta el valor en el cual se quiere que la función u(t) cambie de estado. Debido a lo anterior se puede definir de una manera más general la función escalón unitario,así:

Como se puede observar cuando to = 0, se tiene como resultado la definición dada anteriormente.Otra utilización de la función escalón unitario es la de formar funciones de pulsos o tipo puerta, como la que se muestra a continuación:

En esta imagen se muestra la gráfica de una función que tiene el valor de f(t) en los valores de t comprendidos entre 1 y –1, y siendo 0 para cualquier otro valor de t, para definir esta función se puede utilizar cualquiera de las siguientes expresiones :

Aunque ambas funciones dan como resultado la gráfica mostrada anteriormente, en la primera se utiliza la suma de funciones escalón unitario, mientras que en la segunda, se utiliza la multiplicación de funciones escalón unitario. Este tipo de función comúnmente se llama función puerta de f(t).En forma general se tendría, la siguiente expresión para realizar una función puerta, fpuerta(t), donde se conectaría en un tiempo t1 y se desconectaría en un tiempo t2

para t1< t2

Existen otras muchas funciones que se pueden expresar utilizando la suma o la multiplicación de funciones escalón unitario, es también lógico que f(t), puede ser cualquier tipo de función que varíe en el tiempo, ya sea una expresión matemática, una variable estadística, etc.