circuitos eléctricos

El circuito RLC en paralelo sin fuentes

El primer objetivo es calcular la respuesta natural de un circuito RLC en paralelo sin fuentes, resaltando que el circuito RLC en paralelo es de vital importancia en el estudio de redes de comunicación y diseño de filtros. Observe el circuito de la figura 7.1.1; en este caso se tiene un capacitor y un inductor que tiene una resistencia asociada distinta de cero. Para el análisis se supondrá que la energ&ía puede almacenarse inicialmente,tanto en el inductor como en el capacitor, por lo que la corriente del inductor y el voltaje del capacitor podrán tener valores iniciales distintos de cero. Aplicando LCK en el nodo superior del circuito de la figura 1.1 se obtiene la siguiente ecuación,ver (Ec..7.1.1).

El signo negativo es consecuencia de la dirección asignada a i. Las condiciones iniciales de la bobina y el condensador son las siguientes:

Derivando a ambos lados la ecuación 7.1.1 con respecto al tiempo se obtiene:

El resultado es una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden cuya solución v(t) es la respuesta natural.Hay varias formas de solucionar esta ecuación, una de ellas consiste en suponer una solucion del la siguiente forma:

Al sustituir la anterior ecuación en 7.1.3 se obtiene:

Para satisfacer está ecuación en cualquier tiempo, por lo menos uno de los tres factores presentes en la ecuación 7.1.5, A, la exponencial o el factor agrupado entre paréntesis, debe ser cero; haciendo cero los dos primeros se obtiene la solución trivial de la ecuación diferencial y esta no puede satisfacer las condiciones iniciales dadas, por lo tanto no son soluciones; al igualar a cero el tercer factor resulta:

Esta ecuación recibe el nombre de ecuación característica, si puede satisfacer la solución supuesta entonces es correcta. La ecuación 7.1.6 tiene dos soluciones por ser de segundo grado, s1y s2:

Se puede demostrar que cualquiera de estos dos valores satisface la ecuación diferencial dada.Sustituyendo s por s1 se obtiene:

de igual forma con s2:

La primera satisface la ecuación diferencial

y la segunda satisface la ecuación:

Después de sumar y combinar ambas soluciones, se obtiene:

A partir del principio de linealidad y teniendo en cuenta las ecuaciones 7.1.11 y 7.1.12, se tiene la forma de la respuesta natural:

Donde s1 y s2 están dados por las ecuaciones 7.1.7, A1 y A2 son dos constantes arbitrarias que deben elegirse tales que satisfagan las dos condiciones iniciales especificas, dependiendo de las amplitudes de A1 y A2 la curva de respuesta será diferente. De igual forma las constantes s1 y s2 pueden ser números reales o complejos conjugados. , para cada caso las respuesta producidas serán diferentes, por lo tanto por tener mayor claridad se harán dos definiciones.Observando las ecuaciones 7.1.7 y reemplazando por el siguiente termino:

La función es adimensional, entonces el exponente st es adimensional, por lo tanto como las unidades de t son segundos entonces las unidades de s son , que corresponde a unidades de frecuencia. Esta cantidad es llamada frecuencia de resonancia y es función de L y C, y se representa por la letra griega ómega. De igual forma la expresión:

Es llamada Frecuencia neperiana o coeficiente de amortiguamiento exponencial y se representa por el símbolo alfa, esta expresión es una medida de la rapidez con la que decae o se amortigua la respuesta natural hacia su estado final permanente. Por ultimo s, s1 y s2 se llamaran frecuencias complejas.

Debe tenerse en cuenta que  son solamente símbolos para simplificar el estudio de los circuitos RLC.

Como resumen general se presenta el siguiente conjunto de relaciones:

La magnitud de A1 y A2 deben encontrarse aplicando las condiciones iniciales dadas. Las raíces de la ecuación característica contienen tres posibles condiciones:

1 Dos raíces reales y diferentes cuando 2 Dos raíces reales iguales cuando 3 Dos raíces complejas cuando

Cuando las dos raíces son reales y distintas se dice que el circuito es sobreamortiguado. Cundo son reales e iguales, se dice que el circuito es críticamente amortiguado  Cuando las dos raíces son complejas conjugadas, se dice que el circuito es subamortiguado. En los siguientes capítulos veremos esto en detalle.