circuitos eléctricos

Método operadores diferenciales

Un operador es una representación de una operación matemática, mediante un símbolo, así un operador diferencial representa la derivada de una variable respecto a otra, por ejemplo:

y

En este caso, s representa la derivada con respecto al tiempo de la variable x, la utilidad de esta representación es su uso como cantidad algebraica y facilita el manejo de las ecuaciones diferenciales, como las resultantes de los circuitos RL y RC, que tiene la siguiente forma:

Entonces usando el operador:

Al factorizar: , como x no puede ser cero por ser ésta la solución trivial, entonces: s= - a, Al postular una solución exponencial se tiene:

reemplazando s  y con las condiciones iniciales se determina el valor de A.

Este método ofrece mejores resultados en ecuaciones diferenciales de orden superior. Respuesta Gráfica de los Circuitos RL y RC Hasta el momento se ha planteado la solución de las ecuaciones que originan los circuitos RC y RL: , que también puede escribirse de la siguiente forma:   Donde  , y se llama constante de tiempo del circuito, sus unidades son segundos. Entonces t para RL es t = L/R y para RC es t = RC, la siguiente gráfica muestra el comportamiento de la respuesta exponencial: Es claro que está respuesta depende de la magnitud t, que a su vez depende de RL y RC, respectivamente.   Como se observa en la tabla 6.6.1 cuando t se acerca a 5t, la respuesta es una fracción de su valor inicial entonces la salida del circuito se ha estabilizado, el período antes de este punto se llama respuesta transitoria,y la que se observa después se denomina respuesta de estado estable. En conclusión la respuesta de un circuito RL y RC sin fuentes, dependen fundamentalmente de: 1) La constante de tiempo 2) La condición inicial. Respuesta Completa de RC y RL Las ecuaciones que resultan de los circuitos de primer orden RC y RL, en su mayoría presentan la siguiente forma: Teniendo en cuenta el método exponencial, esta ecuación se puede resolver directamente para x(t): Multiplicando a ambos lados de la ecuación por  El primer miembro de la ecuación queda: de forma que la ecuación: queda: Al integrar desde , hasta un tiempo mayor que cero t > 0, resulta: El primer término del resultado de la derecha es una constante, por que los límites entre los que se evalúan la integral son constantes, quedando la ecuación como: Multiplicando a ambos lados de la ecuación para despejar x(t), se obtiene: La constante se puede determinar por medio de las condiciones iniciales.