M�todo del Factor Intgrante

Supongamos que la ecuaci�n diferencial

,
no es exacta, eso es

En este caso buscamos una funci�n u ( x , y) que hace que la nueva ecuaci�n diferencial

,
sea exacta.
La funci�n u ( x , y) (si existe) se llama factor integrante. Observe ese u ( x , y) satisface la ecuaci�n siguiente:

Esto no es una ecuaci�n diferencial ordinaria puesto que implica m�s que una variable. Se denomina ecuaci�n diferencial parcial. Estos tipos de ecuaciones son muy dif�ciles de solucionar, que explica porqu� encontrar un factor integrante no es tarea f�cil. En algunos casos especiales odemos seguir unas pautas:

: Caso 1: Existir� un factor integrante u (x) ( o sea, que solamente depende de x). Esto sucede si la expresi�n
,
es una funci�n de x solamente, es decir, la y variable desaparece de la expresi�n. En este caso, la funci�n u ser�
: Caso 2: Existe un factor integrante u (y) dependiente de y solamente.Esto sucede si la expresi�n
,
es una funci�n de y solamente, es decir, el x variable desaparece de la expresi�n. En este caso, la funci�n u se da cerca

Una vez que se encuentre el factor que integra, multiplique la vieja ecuaci�n por u para conseguir una ecuaci�n diferencial exacta que sabemos resolver.
Resumamos la t�cnica antedicha. Considere la ecuaci�n

Si su ecuaci�n no se da en esta forma usted debe reescribirla primero.

Paso 1 : Comprobar si es exacta

Paso 2 : Si no lo es, eval�e

Si esta expresi�n es una funci�n de x solamente, entonces vaya al paso 3. Si no, eval�e

Si esta expresi�n es una funci�n de y solamente, entonces vaya al paso 3. �Si no, usted no puede solucionar la ecuaci�n por los dos caminos anteriores!

Paso 3 : Encuentre el factor que integra. Tenemos dos casos:

3,1: Si la expresi�n es una funci�n de x solamente. Entonces un factor que integra es;
3,2: Si la expresi�n es una funci�n de y solamente, entonces un factor integrante es

Paso 4 : Multiplique la vieja ecuaci�n por u , as� tenemos una e. d. exacta.

Paso 5 : Solucione la nueva ecuaci�n usando los pasos descritos en la secci�n anterior.

El ejemplo siguiente ilustra el uso de la t�cnica del factor integrante

M�todo del Factor Integrante: Ejemplo

Encuentre todas las soluciones a

Soluci�n: Observe que esta ecuaci�n es homog�nea. Pero utilicemos la t�cnica de factor integrante para solucionarla. Sigamos estos pasos:

(1): Reescribimos la ecuaci�n para conseguir
Por lo tanto, y .
(2): Tenemos,
lo cu�l implica claramente que la ecuaci�n no es exacta.
(3): Encontremos un factor que integra. Tenemos.
Por lo tanto, un factor que integra u (x) existe y se da cerca
(4): La nueva ecuaci�n es,
la cu�l es exacta. (comprobarlo)
(5): Encontremos F ( x , y). Considere el sistema:
(6): Integremos la primera ecuaci�n. Conseguimos
(7): Distinga con respecto a y y utilice la segunda ecuaci�n del sistema para conseguir,
cu�l implica , es decir, es constante. Por lo tanto, la funci�n F ( x , y) es

No tenemos que mantener la C constante debido a la naturaleza de las soluciones (v�ase el paso siguiente).
(8): Todas las soluciones son dadas por la ecuaci�n impl�cita