ecuaciones diferenciales

Ecuaciones Diferenciales Homog�neas

La ecuaci�n diferencial

es homog�nea si la funci�n f ( x , y) es homog�nea, esto es

Compruebe que las funciones
.
son homog�neas.
Para solucionar este tipo de ecuaci�n hacemos uso una substituci�n (como lo hicimos en caso de que de las ecuaciones de Bernoulli). De hecho, considere la substituci�n  . Si f ( x , y) es homog�nea, tenemos

Desde y ' = xz ' + z , la ecuaci�n (h) se convierte en

cu�l es una ecuaci�n separable . Una vez que est� solucionada, vayan de nuevo a la vieja variable y v�a la ecuaci�n y = x z .

Resumamos los pasos para seguir:

 

(1)

Reconozca que su ecuaci�n es una ecuaci�n homog�nea; es decir, usted necesita comprobar esa f ( tx , ty ) = f ( x , y), significando esa f ( tx , ty ) es independiente del t variable ;

(2)

Cambiemos de variable z = y / x ;

(3)

Con la diferenciaci�n f�cil, encuentre la nueva ecuaci�n satisfecha por la nueva funci�n z .
Usted puede desear recordar la forma de la nueva ecuaci�n:

(4)

Solucione la nueva ecuaci�n (que es siempre separable) para encontrar z ;

(5)

Van de nuevo a la vieja funci�n y a trav�s de la substituci�n y = x z ;

(6)

Si usted tiene un PVI, utilice la condici�n inicial para encontrar la soluci�n particular.

Puesto que usted tiene que solucionar una ecuaci�n separable, usted debe tener particularmente cuidado sobre las soluciones constantes.

Ejemplo: Encuentre todas las soluciones de

Soluci�n: Siga estos pasos:

 

(1)

Es f�cil comprobar que  es homog�neo;

(2)

Considere  ;

(3)

Tenemos,
cu�l se puede reescribir como

Esto es una ecuaci�n separable. Si usted no consigue una ecuaci�n separable a este punto, entonces su ecuaci�n no es homog�nea, o algo fue mal a lo largo de la manera.

(4)

Todas las soluciones se dan impl�cito cerca

(5)

De nuevo a la funci�n y , conseguimos
Observe que la ecuaci�n impl�cita se puede reescribir como

Ecuaciones diferenciales exactas

Todas las t�cnicas que hemos estudiado dependen de la forma de la Ecuaci�n Diferencial. Pero podr�amos pnerlas todas de forma general como:

Primero reescribamos la ecuaci�n en

Esta ecuaci�n ser� llamada Ecuaci�n diferencial exacta si
,
y no exacta en caso contrario. La condici�n de la exactitud asegura la existencia de una funci�n F ( x , y) tales que

Cuando la ecuaci�n (e) es exacta, la solucionamos que usa los pasos siguientes:

 

(1)

Compruebe que la ecuaci�n sea de hecho exacta;

(2)

Considere el sistema

(3)

Integre la primera ecuaci�n con el respecto a la variable x o la segunda con el respecto a la  variable y. La opci�n de la ecuaci�n que se integrar� depender� de c�mo es f�cil son los c�lculos. Asumamos que la primera ecuaci�n fue elegida, entonces tenemos
La funci�n  debe estar all�, puesto que en nuestra integraci�n, asumimos que la y variable es constante.

(4)

Utilice la segunda ecuaci�n del sistema para encontrar el derivado de  . De hecho, tenemos,
lo cu�l implica

Observe que  es una funci�n de y solamente. Por lo tanto, en la expresi�n que da  la variable, x , debe desaparecer. �Si no hay algo mal!

(5)

Integre para encontrar ;

(6)

Anote la funci�n F ( x , y);

 

(7)

Todas las soluciones son dadas por la ecuaci�n impl�cita

 

(8)

Si le dan un PVI, sustituya la condici�n inicial para encontrar la C constante .Si la ecuaci�n no es exacta podemos tratar de resolverla convirti�ndola en exacta, por el M�todo del Factor Integrante