ecuaciones diferenciales

Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden No lineales

Una ecuaci�n diferencial de segundo orden es una ecuaci�n que implica la funci�n desconocida y , sus derivadas y ', y '' de y, y la variable x . Consideraremos solamente las ecuaciones diferenciales expl�citas de la forma,

En general, poco se sabe sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden no lineales
,
pero dos casos son dignos de discusi�n:

 

(1)

Ecuaciones en las que no est� resente y
H�gase el cambio de variable  v = y '. Entonces la nueva ecuaci�n satisfecha por v es

Esto es una ecuaci�n diferencial de primer orden. Una vez que se encuentre v su integraci�n da la funci�n y .

Ejemplo 1: Encuentre la soluci�n de


Soluci�n: Puesto que y falta, fije v = y '. Entonces, tenemos

Esto es una ecuaci�n diferencial linear de primer orden . Su resoluci�n da

Como v (1) = 1, conseguimos  . Por lo tanto, tenemos

Teniendo en cuenta que  y ' = v , obtenemos la ecuaci�n siguiente despu�s de la integraci�n

La condici�n y (1) = 2 da  . Por lo tanto, tenemos

Observe que esta soluci�n est� definida para x > 0.

(2)

Ecuaciones sin la variable x
Cambiamos  v = y '. Entonces

conseguimos

Esto es otra vez una ecuaci�n diferencial de primer orden. Una vez que v entonces se encuentre podemos conseguir y a trav�s

cu�l es una ecuaci�n en variables separadas.

Ejemplo 2: Encuentre la soluci�n general de la ecuaci�n


Soluci�n: Puesto que la variable v  falta, fije v = y '. Los f�rmulas arriba conducen a

Esto una ecuaci�n diferencial separable. Su resoluci�n da

Puesto que  , conseguimos y ' = 0 o

Puesto que esto es una ecuaci�n diferencial separable, conseguimos, despu�s de la resoluci�n,
,
con las constantes  y C. Todas las soluciones de nuestra ecuaci�n inicial son


Observe que debemos prestar la atenci�n especial a las soluciones constantes al solucionar cualquier ecuaci�n separable. �sta puede ser fuente de errores...

Ecuaciones Diferenciales Lineales de Segundo Orden

Se escriben las ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales como

Cuando d (x) = 0, la ecuaci�n se llama homog�nea , si no se llama no homog�nea . A una ecuaci�n no homog�nea
,
asociamos la ecuaci�n homog�nea asociada

Para el estudio de estas ecuaciones consideramos

donde p (x) = b (x)/ un (x), q (x) = c (x)/ un (x) y g (x) = d (x)/ un (x). Si p (x), q (x) y g (x) son definidos y continuos en el intervalo I , entonces el PVI
,
donde  y  son n�meros arbitrarios, tiene un intervalo I donde la soluci�n es �nica .

Resultado principal: La soluci�n general a la ecuaci�n ( NH )
,
donde

 

(i)

 est� la soluci�n general a la ecuaci�n asociada homog�nea (H);

(ii)

 est� una soluci�n particular a la ecuaci�n ( NH ).

En la conclusi�n, deducimos que para solucionar la ecuaci�n no homog�nea ( NH ), necesitamos

 

Paso 1: encuentre la soluci�n general a la ecuaci�n asociada homog�nea (H):   ;

 

Paso 2: encuentre una soluci�n particular a la ecuaci�n ( NH ):  ;

 

Paso 3: La soluci�n general a ( NH ) viene dada por