ecuaciones diferenciales

Existencia y unicidad de soluciones

El teorema de existencia y unicidad nos indicar� cu�ndo una ecuaci�n diferencial de primer orden tiene una �nica soluci�n dada una condici�n inicial. Comencemos por enunciarlo:

Teorema. Sea f ( x , y) una funci�n real continua en el rect�ngulo
  . Supongamos que existe la derivada parcial de  f con respecto a y,   que adem�s es continua en el rect�ngulo R .
Entonces existe un intervalo  (con  ) tal que el problema del valor inicial

tiene una �nica soluci�n y (x) definida en el intervalo I .
 

Observe que el n�mero h puede ser m�s peque�o que a . Para entender las ideas principales que hay detr�s de este teorema, vamos a suponer que es cierto. Entonces si y (x) es una soluci�n al problema del valor inicial, debemos tener


No es complicado  ver que si una funci�n y (x) satisface la ecuaci�n (llamada ecuaci�n integral asociada al PVI)

en un intervalo I , entonces es soluci�n al problema del valor inicial

Picard fu� el primero en estudiar esta ecuaci�n funcional asociada. El m�todo para encontrar y se conoce como el m�todo iterativo o de las aproximaciones (o de iteraci�n) de Picard. Veamos la idea:

 

Paso 1. Considere la funci�n constante

 

Paso 2. Una vez conocida  , definimos la funci�n

 

Paso 3. Por inducci�n, generamos una sucesi�n de las funciones  que, bajo asunciones hechas en f ( x , y), converge a la soluci�n y(x) del problema del valor inicial

Iterantes de Picard

De hecho, es a menudo muy duro solucionar ecuaciones diferenciales, pero tenemos un proceso num�rico que pueda aproximar la soluci�n. Este proceso se conoce como el proceso iterativo de Picard .
Primero, considere el PVI

No es duro ver que la soluci�n a este problema tambi�n est� dada como soluci�n a (llamada la ecuaci�n integral asociada)

El proceso iterativo de Picard consiste en el construir de una sucesi�n  de funciones que conseguir�n cada vez aproximar m�s la soluci�n deseada.
Pasos:

 

(1)

 para cada x ;

(2)

De forma inductiva:
para  .

Ejemplo: Encuentre la sucesi�n , para el PVI
.
Soluci�n: Primero escribamos la ecuaci�n integral asociada

Sistema  . Entonces para cualesquiera  , tenemos la f�rmula recurrente

Tenemos  , y

Es f�cil demostrar que

Reconocemos (de An�lisis Matem�tico I) el  polinomio de Taylor de

Existencia y unicidad de soluciones: Ejemplo 1

Ejemplo: Suponga que la ecuaci�n diferencial  satisface el teorema de la existencia y de la unicidad para todos los valores de y y de t . Suponga  y  sea dos soluciones a esta ecuaci�n diferencial.

1.

�Qu� puede usted decir sobre el comportamiento de la soluci�n de la soluci�n y (t) que satisface la condici�n inicial y (0)=1?
Pista: Dibuje las dos soluciones  y  .

2.

Trate el comportamiento de y (t) cuando t se acerca  , y como a  .

Respuesta:

1.

Primero dibujemos los gr�ficos de  y  .
Puesto que tenemos  , deducimos del teorema de la existencia y de la unicidad que para todo t,  tenemos que

En detalle, y (t) tiene la l�nea y = t como as�ntota oblicua, lo que contesta a la segunda pregunta.
No podemos predecir que y (t) es una funci�n creciente