Ecuaciones Lineales Homog�neas

Considere la ecuaci�n lineal homog�nea de segundo orden

o en forma

Propiedad fundamental: Si y son dos soluciones, entonces

est� tambi�n una soluci�n para cualquier constante arbitraria .

La pregunta natural es conocer si cualquier soluci�n y se puede poner tambi�n de la forma

para ciertos

El wronskiano y la independencia lineal

Sean

dos funciones diferenciables. El Wronskiano

, asociado a

, es la funci�n
displaymath33

Para una discusi�n sobre la motivaci�n que hay detr�s del Wronskiano pulsar aqu�.

Propiedades importantes:

(1): Si e son dos soluciones de la ecuaci�n y'' + p (x) y ' + q (x) y = 0, entonces
(2): Si e son dos soluciones de la ecuaci�n y'' + p (x) y ' + q (x) y = 0, entonces
En este caso, decimos que e somos linealmente independientes.

(3): Si e son dos soluciones linealmente independientes de la ecuaci�n y'' + p (x) y ' + q (x) y = 0, entonces cualquier soluci�n y se escribe como
para unas ciertas constantes y . En este caso, el sistema se llama el sistema fundamental de soluciones.

Ejemplo: Sea

soluci�n del PVI

y sea

la soluci�n al PVI

Encuentre el Wronskiano de

. Deduzca la soluci�n general al problema

Soluci�n: Escribamos

. Sabemos por las propiedades anteriores que
$\begin{displaymath}W(x) = W(0) e^{\displaystyle - \int_0^x (2t-1)dt} = W(0) e^{\displaystyle -x^2 + x}\;.\end{displaymath}$
Evaluemos W (0). Tenemos
displaymath101

Por lo tanto, tenemos

Puesto que

, deducimos que

es un sistema fundamental de soluciones. Por lo tanto, la soluci�n general es

,

donde

son constantes arbitrarias.

Reducci�n de orden

Esta t�cnica es muy importante puesto que ayuda a uno a encontrar una segunda soluci�n independiente conocida. Por lo tanto, seg�n la secci�n anterior, para encontrar la soluci�n general al '' de y + a p (x) y ' + q (x) y = 0, necesitamos encontrar solamente una soluci�n (diferente a cero),