Ecuaciones Lineales Homog�neas
Considere la ecuaci�n lineal homog�nea de segundo orden
o en forma
Propiedad fundamental: Si
est� tambi�n una soluci�n para cualquier constante arbitraria
La pregunta natural es conocer si cualquier soluci�n y se puede poner tambi�n de la forma
El wronskiano y la independencia lineal
Sean
Para una discusi�n sobre la motivaci�n que hay detr�s del Wronskiano pulsar aqu�.
Propiedades importantes:
- (1)
- Si
e
son dos soluciones de la ecuaci�n y'' + p (x) y ' + q (x) y = 0, entonces
- (2)
- Si
e
son dos soluciones de la ecuaci�n y'' + p (x) y ' + q (x) y = 0, entonces
En este caso, decimos quee
somos linealmente independientes.
- (3)
- Si
e
son dos soluciones linealmente independientes de la ecuaci�n y'' + p (x) y ' + q (x) y = 0, entonces cualquier soluci�n y se escribe como
para unas ciertas constantesy
. En este caso, el sistema
se llama el sistema fundamental de soluciones.
y sea
Encuentre el Wronskiano de
Soluci�n: Escribamos
Evaluemos W (0). Tenemos
Por lo tanto, tenemos
Puesto que
donde
Reducci�n de orden
Esta t�cnica es muy importante puesto que ayuda a uno a encontrar una segunda soluci�n independiente conocida. Por lo tanto, seg�n la secci�n anterior, para encontrar la soluci�n general al '' de y + a p (x) y ' + q (x) y = 0, necesitamos encontrar solamente una soluci�n (diferente a cero),
Sea
Entonces, una segunda soluci�n
Los c�lculos f�ciles dan
donde C es una constante arbitraria no nula. Puesto que estamos buscando una segunda soluci�n podemos tomar C = 1, conseguimos
La soluci�n general entonces ser�
Ejemplo: Encuentre la soluci�n general a la ecuaci�n de Legendre
usando el hecho que
Soluci�n: Es f�cil comprobar que
Podemos intentar encontrar una segunda soluci�n
Us�ndo las t�cnicas de integraci�n aprendidas en An�lisis Matem�tico I
lo cu�l da
La soluci�n general es entonces
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