ecuaciones diferenciales

Introducci�n a Sistemas de E. D.: Ejemplo 2

Ejemplo: Considere el sistema
.
�El la siguiente una soluci�n del sistema?


Respuesta: Claramente, necesitamos sustituir x' e y'. Tenemos

.
Basat sustituir y vemos que s� es soluci�n.

Introducci�n a sistemas de E. D.: Ejemplo 3

Ejemplo: Escribir la e. d. de segundo orden

como un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden.
Respuesta: Denotando y' = v . Entonces tenemos
.
Esto produce
.

Introducci�n: Respuesta a Example3

Ejemplo: Encuentre la soluci�n al sistema


Respuesta: Primero, solucione la segunda ecuaci�n puesto que no contiene la variable x. Tenemos una ecuaci�n separable . Por lo tanto, primero buscaremos las soluciones constantes.
.
Esto da claramente y = 2. Las soluciones no-constantes pueden ser obtenidas separando las variables
,
y entonces realizando la integraci�n. As�
,
conseguimos

Si ponemos todas las soluciones juntas
.
Claramente, la �nica soluci�n que satisface la condici�n inicial y (0)=2 es la soluci�n constante y = 2. Despu�s, sustituimos el valor de y (t) en la primera ecuaci�n del sistema para conseguir

Esto es otra vez una ecuaci�n separable . Esta vez no tenemos soluciones constantes puesto que  no tiene ra�ces reales. Encontremos las soluciones no-constantes. Primero, separamos las variables x y t para conseguir

Integrando (con las t�cnicas conocidas de An�lisis I)
,
entonces conseguimos

La condici�n inicial x (0)=0 da

Finalmente, la soluci�n al sistema es
.

Introducci�n a sistemas de E. D.: Ejemplo 5

Ejemplo: Considere el siguiente modelo presa-depredador
.

1.

� X (t) denota la poblaci�n depredadora o la poblaci�n de presa? Justifique su respuesta.

2.

Encuentre todos los puntos del equilibrio del sistema.

3.

Suponga que la poblaci�n  presa llega a estar extinta mientras que la poblaci�n depredadora sigue siendo positiva. Describa el comportamiento a largo plazo de la poblaci�n depredadora.

4.

Suponga que la poblaci�n depredadora se extingue mientras que la poblaci�n presa sigue siendo positiva. Describa el comportamiento a largo plazo de la poblaci�n presa.

5.

Describa el comportamiento a largo plazo del sistema cuando las poblaciones iniciales son.