ecuaciones diferenciales

An�lisis Cualitativo

Es muy dif�cil encontrar de forma expl�cita las soluciones a un sistema, especialmente si es no lineal. El acercamiento cualitativo es importante puesto que permiten que hagamos conclusiones independientemente de si sabemos o no las soluciones.

Recordemos qu� hicimos para las ecuaciones aut�nomas. Primero buscamos los puntos del equilibro y entonces, conjuntamente con el teorema de la existencia y de la unicidad, concluimos que las soluciones del desequilibrio crec�an o no. �Qu� hac�amos para los sistemas aut�nomos? Estudi�bamos los componentes de los vectores de velocidad  y  . Estos vectores dan la direcci�n del movimiento a lo largo de la trayectoria. Tenemos las cuatro direcciones naturales (izquierda-abajo, izquierda-arriba, derecha-abajo, y derecha-arriba) y las otras cuatro direcciones (a la izquierda, a la derecha, arriba, abajo). Estas direcciones son obtenidas mirando las muestras de  y  y si son iguales a 0. Si ambos son cero, tenemos un punto del equilibrio.

Ejemplo. Considere el modelo que describe dos especies que compiten para la misma presa

Solamente centr�mosnos en el primer cuadrante  y  . Primero, buscamos los puntos del equilibrio. Debemos tener

Las manipulaciones algebraicas implican

y

Los puntos del equilibrio son (0.0), (0.2), (1.0), y  .
Considere la regi�n R delimitada por el eje OX, el eje OY, la l�nea 1 x - y = 0, y la l�nea 2-3 x - y = 0.

Claramente dentro de esta regi�n ni    ni   son iguales a 0. Por lo tanto, deben tener direcci�n constante (son ambos negativos). Por lo tanto la direcci�n del movimiento es igual (que es izquierda-abajo) mientras la trayectoria est� dentro de esta regi�n.

En el hecho, mirando el primer cuadrante, tenemos tres regiones m�s a agregar a la antedicha. La direcci�n del movimiento depende de en  qu� regi�n estamos (v�ase el cuadro abajo)

Los l�mites de estas regiones son muy importantes en la determinaci�n de la direcci�n del movimiento a lo largo de la trayectoria. En hecho, ayuda a visualizar la trayectoria como el campo de pendientes lo hac�a para las ecuaciones aut�nomas. Estos l�mites se llaman "isoclinas nulas"

Considere el Sistema Aut�nomo

Las "isoclinas nulas en x" son los puntos donde  y en y son los puntos donde  . Claramente los puntos de la intersecci�n entre ambos son exactamente los puntos del equilibrio. Observe que a lo largo de las isoclinas nulas en x los vectores  velocidad son verticales mientras que a lo largo de las isoclinas nulas en y los vectores velocidad son horizontales. Observe que mientras estamos viajando a lo largo de una isoclina nula sin cruzar un punto del equilibrio, despu�s la direcci�n del vector de la velocidad debe ser igual. Una vez que crucemos un punto del equilibrio, despu�s podemos tener un cambio en la direcci�n.

Ejemplo. Dibuje las isoclinas nulas para el Sistema Aut�nomo y los vectores velocidad a lo largo de ellos.

El isoclina nula en x es

lo cu�l es equivalente

mientras que la isoclina nula en y es

lo cu�l es equivalente a

Para encontrar la direcci�n de los vectores de la velocidad a lo largo de los nullclines, escogemos un punto en el nullcline y encontramos la direcci�n del vector de la velocidad en ese punto. El vector de la velocidad a lo largo del segmento del nullcline delimitado por los puntos del equilibrio que contiene el punto dado tendr� la misma direcci�n. Por ejemplo, considere el punto (2.0). El vector de la velocidad a este punto est� (-1.0). Por lo tanto el vector de la velocidad en cualquier punto ( x .0), con x > 1, es horizontal (estamos en el y-nullcline) y puntos a la izquierda. El cuadro abajo da los nullclines y los vectores de la velocidad a lo largo de ellos.


En este ejemplo, los nullclines son l�neas. En general podemos tener cualquier clase de curvas.

Ejemplo. Dibuje los nullclines para el Autonomous System

El x-nullcline se da cerca

cu�l es equivalente

mientras que el y-nullcline se da cerca

cu�l es equivalente

Por lo tanto el y-nullcline es la uni�n de una l�nea con la elipse



Informaci�n de los nullclines 

Que la mayor�a de los sistemas aut�nomos no lineales, es imposible encuentren expl�citamente las soluciones. Podemos utilizar t�cnicas num�ricas para tener una idea sobre las soluciones, pero el an�lisis cualitativo puede poder contestar a algunas preguntas con un bajo costo y m�s r�pidamente que la t�cnica num�rica har�. Por ejemplo, las preguntas se relacionaron con el comportamiento a largo plazo de soluciones. Los nullclines desempe�an un papel central en el acercamiento cualitativo. Ilustremos esto en el ejemplo siguiente.

Ejemplo. Discuta el comportamiento de las soluciones del Autonomous System

Nos hemos encontrado ya los nullclines y la direcci�n de los vectores de la velocidad a lo largo de estos nullclines.

Estos nullclines dan el nacimiento a cuatro regiones en las cuales la direcci�n del movimiento sea constante. Discutamos la regi�n confinada por el x-axis, el y-axis, la l�nea 1 x - y = 0, y la l�nea 2-3 x - y= 0. Entonces la direcci�n del movimiento es izquierda-abajo. Tan un objeto m�vil que comienza en una posici�n en esta regi�n, seguir� una trayectoria que va izquierda-abajo. Tenemos tres opciones

Primera opci�n: la trayectoria muere en el punto del equilibrio  .

Segunda opci�n: el punto de partida est� sobre la trayectoria que muere en el punto del equilibrio  . Entonces la trayectoria golpear� el tri�ngulo definido por los puntos  , (0.1), y (0.2). Entonces ir� para arriba-izquierdo y dados en el punto del equilibrio (0.2).

Tercera opci�n: el punto de partida est� debajo de la trayectoria que muere en el punto del equilibrio  . Entonces la trayectoria golpear� el tri�ngulo definido por los puntos  , (1.0), y  . Entonces ir� down-right y los dados en el punto del equilibrio (1.0).

Para las otras regiones, mire el cuadro abajo. Incluimos algunas soluciones para cada regi�n.
Observaciones. Vemos de este ejemplo que la trayectoria que ti�en en el punto del equilibrio  sea crucial a predecir el comportamiento de las soluciones. La trayectoria estos dos se llama separatrixporque separan las regiones en diversos subregiones con un comportamiento espec�fico. Encontrarlos son un problema muy dif�cil. Note tambi�n que los puntos del equilibrio (0.2) y (1.0) se comportan como fregaderos. La clasificaci�n de los puntos del equilibrio ser� discutida usando la aproximaci�n por los sistemas lineares.