ecuaciones diferenciales

Ecuaciones de segundo orden y sistemas

Hemos visto antes c�mo solucionar un cierto tipo de ecuaciones de segundo orden. De hecho, hemos visto solamente c�mo solucionar ecuaciones lineales. �Qu� ocurre con las ecuaciones no lineales? Desafortunadamente muchos de problemas de la vida real son modelados por ecuaciones no lineales. Aqu� demostraremos c�mo se puede pasar una ecuaci�n de segundo orden a sistema. La t�cnica desarrollada para el sistema se puede entonces utilizar para estudiar las ecuaciones de segundo orden
Sea cualquier ecuaci�n diferencial de orden dos (en la forma expl�cita)

Introduzcamos la funci�n

Entonces tenemos

Poniendo todo juntos conseguimos

Es muy f�cil ver que y (t) es soluci�n a la segunda ecuaci�n de la orden si y solamente si ( y , v) es soluci�n al sistema. El plano de fase del sistema no es pues importante como si nos ocup�ramos solamente del sistema asociado. �sta es otra raz�n por la que debemos tambi�n prestar la atenci�n al gr�fico de y contra t .

Oscilador Arm�nico 
En f�sica, a una masa con un muelle se llama oscilador arm�nico y es uno de los modelos m�s importantes de la ciencia. Este modelo tambi�n aparece en la teor�a del circuito (circuitos de RLC) y en la f�sica de part�culas.
Una descripci�n general del sistema es

la masa m del objeto unido al resorte;

la constante del resorte  (que es un resultado directo de la ley de Hooke);

el coeficiente de "damping"  que puede ser proporcional al vector de la velocidad o tener una forma muy complicada (no lineal).

De llas leyes de la mec�nica newtoniana, podemos deducir la ecuaci�n diferencial que modela el oscilador arm�nico

en ausencia de una fuerza externa que act�a en el objeto. Recuerde que y (t) denota la posici�n del objeto en el tiempo t . Estamos asumiendo claramente que el movimiento es lineal (a lo largo de una l�nea). Antes de que anotemos el sistema asociado, reescribimos la ecuaci�n en la forma expl�cita

El sistema asociado es


Osciladores Arm�nicos sin "damping" 
�stos son los osciladores arm�nicos para los cuales  . En este caso, la ecuaci�n diferencial se reduce a

o equivalentemente

o

El sistema asociado es


Ejemplo. Considere los osciladores arm�nicos

1.

m = 1,  y  ;

2.

m = 1,  y  ;

3.

m = 1,  y  .

Los planos de la fase con algunas soluciones son

1.
2.
3.	Introducci�n y motivaci�n Las ecuaciones diferenciales son muy provechosas en muchas �reas de la ciencia. Pero la mayor�a de problemas verdaderos interesantes de la vida implican m�s de una funci�n desconocida. Por lo tanto, el uso del sistema de ecuaciones diferenciales es muy �til. Sin p�rdida de generalidad, nos concentraremos en los sistemas de dos ecuaciones diferenciales Como motivaci�n vamos a considerar una isla con dos especies: Conejos y zorros. Uno desempe�a el papel del depredador mientras que el otro el papel de presa. Si estamos interesados modelar los crecimientos de las poblaciones de ambas especies, tenemos que tener presente que si, por ejemplo, la poblaci�n del zorro aumenta, entonces la poblaci�n del conejo se ver� afectada. El �ndice del cambio de la poblaci�n de un tipo depender� tan de la poblaci�n real del otro tipo. Por ejemplo, en ausencia de la poblaci�n del conejo, la poblaci�n del zorro disminuir�  para hacer frente a cierta extinci�n. Algo que la mayor�a de nosotros quisieran evitar. Un modelo para este problema de la Despredador-Presa fue desarrollado por Lotka (en 1925) y Volterra (en 1926) y se conoce como el sistema de Lotka-Volterra donde R (t) mide la poblaci�n de conejos, F (t) mide la poblaci�n de zorros, y todas la constantes implicadas  son n�meros positivos. Observe que a y b son el �ndice de crecimiento de la presa, y el �ndice de mortalidad del depredador.  y  son las medidas entre efecto de la interacci�n de los conejos y los zorros. Observe que en el sistema de Lotka-Volterra, falta la variable t. Esta clase de sistema se llama Sistemas aut�nomos y se escriben Plano De la Fase  Vayamos de nuevo al caso general Una soluci�n a este sistema es el par de las funciones (x (t), y (t)) que satisfacen ambas ecuaciones diferenciales del sistema. Cuando variamos t, conseguimos un sistema de puntos en el plano XY que, en la f�sica, generalmente llamamos una trayectoria. El objeto m�vil tiene los coordenadas (x(t), y (t)) en el tiempo t . La velocidad a la trayectoria en el tiempo t ser� Observe que no necesitamos saber la soluci�n (x (t), y (t)) para determinar el vector de la velocidad en el tiempo t . De hecho, tenemos mientras sabemos x , y , y t . En detalle, podemos dibujar todos los vectores de la velocidad por todas partes en el plano para los sistemas aut�nomos. Esto se conoce como el campo de vectores. El campo de vectores se debe entender como el an�logo del campo de la direcci�n para las ecuaciones diferenciales. Ejemplo. Dibuje el campo de vectores para el problema presa-despredador Por ejemplo, para el punto ( x , y) = (2.1), tenemos Si ponemos m�s vectores de la velocidad, conseguimos Est� claro que la longitud de los vectores de la velocidad puede afectar nuestra comprensi�n de las soluciones. Si somos interesados solamente por la direcci�n del movimiento no su velocidad, despu�s es natural fijar una longitud para estos vectores Compare los dos cuadros. Observaci�n. Observe que para el problema presa-depredador, podemos estar interesados descubrir si una de las dos especies se extingue. En decir podemos estar interesados estudiar las funciones x (t) y y(t) por separado. Es decir dos m�s gr�ficos se asocian naturalmente a un sistema. Por el ejemplo antedicho, el gr�fico de la soluci�n que satisface la condici�n se dibuja abajo y los gr�ficos de x (t) y de y (t) son y Soluciones de Equilibrio.  Una soluci�n de equilibrio (o soluci�n cr�tica ) de un Sistema Aut�nomo es la trayectoria de un objeto m�vil que no se mueve. O sea el vector de  velocidad es b�sicamente igual a 0. Considere el Sistema aut�nomo Las soluciones del equilibrio son las soluciones algebraicas del sistema Las soluciones del equilibrio tambi�n se llaman los puntos del equilibrio puesto que la trayectoria asociada es exactamente puntos en el plano de fase. Ejemplo. Encuentre los puntos del equilibrio del sistema de Duffin Respuesta. Consideramos el sistema Tapando y = 0 en la segunda ecuaci�n, conseguimos lo cu�l da x = 0, o  . Por lo tanto los puntos del equilibrio son