ecuaciones diferenciales

Trayectorias ortogonales

Hemos visto antes (v�ase las ecuaciones en variables separadas por ejemplo) que las soluciones de una ecuaci�n diferencial se pueden dar con una ecuaci�n impl�cita dependiente de  un par�metro, o sea como

Esto es una ecuaci�n que describe una familia de curvas. Siempre que fijemos el par�metro C conseguimos una curva y viceversa. Por ejemplo, considere las familias de curvas

donde tenemos los par�metros m y C. Claramente, podemos cambiar los nombres de las variables y todav�a tener las mismas curvas geom�tricas. Por ejemplo, las familias antedichas definen el mismo objeto geom�trico que

Observe que la primera familia describe todas las l�neas que pasan por el origen (0.0) mientras que el segundo la familia describe todos los c�rculos centrados en el origen (incluyendo el caso l�mite cuando el radio es 0, que reduce a un solo punto (0.0)) (v�ase los cuadros abajo).


y

En esta p�gina, utilizaremos solamente las variables x e y . Cualquier familia de curvas ser� escrita como

Uno se puede preguntar el caso opuesto �cualquier familia de curvas se puede generar de una ecuaci�n diferencial? En general, la respuesta es no. Veamos c�mo proceder si la respuesta es s�. Primero diferenciamos con respecto a x , y conseguimos una nueva ecuaci�n que implica  x , y , ,  y C. Usando la ecuaci�n original, podemos eliminar el par�metro C de la nueva ecuaci�n.

Ejemplo. Encuentre la ecuaci�n diferencial satisfecha por la familia

Respuesta. Diferenciamos con respecto a x , para conseguir

Puesto que tenemos

entonces conseguimos sustituyendo

 El paso siguiente es reescribir esta ecuaci�n en la forma expl�cita, cuando sea posible,

�sta es la ecuaci�n diferencial deseada.

Ejemplo. Encuentre la ecuaci�n diferencial (en la forma expl�cita) satisfecha por la familia

Respuesta. Hemos encontrado ya la ecuaci�n diferencial en la forma impl�cita

Las manipulaciones algebraicas dan


Reconsideremos el ejemplo de las dos familias

Si dibujamos a dos familias juntas en el mismo gr�fico conseguimos


Si analizamos el gr�fico es claro que siempre que una l�nea interseque un c�rculo, la l�nea de la tangente al c�rculo y la propia l�nea son perpendiculares u ortogonales.
Definici�n. Considere dos familias de curvas  y  . Decimos eso  y  somos ortogonales siempre que cualquier curva de  sea perpendicular a cualquier curva de  .
Por ejemplo, hemos visto que las familias y = m x y  somos ortogonales. Uno puede entonces hacer la pregunta natural siguiente:
�Dada una familia de curvas  , es posible encontrar una familia de curvas ortogonales a  ?
La respuesta a esta pregunta tiene muchas implicaciones en muchas �reas tales como f�sica. En general esta pregunta es muy dif�cil. Pero en algunos casos podemos poder continuar los c�lculos y encontrar a la familia ortogonal. Demostremos c�mo.

Considere la familia de curvas  . Asumimos que una ecuaci�n diferencial asociada puede ser encontrada. Sea

Sabemos que para cualquier curva de la familia que pasa por el punto ( x , y), la pendiente de la tangente a este punto es f ( x , y). Por lo tanto la pendiente  de la perpendicular (u ortogonal) a esta tangente es  , la cu�l debe ser la pendiente de la l�nea de la tangente a la curva ortogonal que pasa por el punto ( x , y). Es decir la familia de curvas ortogonales es solucion a la ecuaci�n diferencial

Luego ese es el camino a seguir.

Dada una familia de curvas  . Para encontrar a la familia ortogonal, utilizamos los pasos pr�cticos siguientes

 

Paso 1. Encuentre la ecuaci�n diferencial asociada.

 

Paso 2. Reescriba esta ecuaci�n diferencial en la forma expl�cita

 

Paso 3. Anote la ecuaci�n diferencial asociada a la familia orthogonal

 

Paso 4. Solucione la nueva ecuaci�n. Las soluciones son exactamente la familia de curvas ortogonales.

 

Ejemplo. Encuentre a familia ortogonal a la familia de c�rculos

Respuesta. Primero, buscamos la ecuaci�n diferencial satisfecha por los c�rculos. Diferenciamos respecto a x para conseguir

Reescribimos esta ecuaci�n en la forma expl�cita

Anotamos despu�s la ecuaci�n diferencial para la familia ortogonal

�sta es lineal as� como variables separadas. Si utilizamos la t�cnica de ecuaciones lineales, conseguimos el factor que integra

lo cu�l da

Reconocemos la familia de l�neas y confirmamos nuestra observaci�n anterior (que las dos familias son de hecho ortogonales).

Este ejemplo es de alguna manera f�cil y fue dado aqu� para ilustrar la t�cnica.

Ejemplo. Encuentre a familia ortogonal a la familia de c�rculos



Respuesta. Hemos visto antes que es la ecuaci�n diferencial expl�cita asociada a la familia de c�rculos

Por lo tanto la ecuaci�n diferencial para la familia ortogonal est�

Es una ecuaci�n homog�nea. Utilicemos la t�cnica desarrollada para solucionar esta clase de ecuaciones. Considere la nueva variable  (o equivalente y = x z). Entonces tenemos

y

Por lo tanto tenemos

Las manipulaciones algebraicas implican

Esto es una ecuaci�n en variables separadas. Las soluciones constantes son

lo cu�l da z = 0. Se encuentran las soluciones no-constantes una vez que separemos las variables

y entonces integramos

Antes de que realicemos la integraci�n para el lado izquierdo, necesitamos utilizar t�cnica de la descomposici�n. Tenemos

De An�lisis Matem�tico II sabemos calcular que  A = 1, B = - 2, y C = 0. Por lo tanto tenemos

Por lo tanto

lo cu�l es equivalente a

donde  . Poniendo todas las soluciones juntas conseguimos

Yendo de nuevo a la y variable , conseguimos

o equivalentemente

Reconocemos una familia de los c�rculos centrados en el eje y, y la l�nea y = 0 (el eje x como cab�a esperar)


Si ponemos a ambas familias juntas, apreciamos mejor la ortogonaliad de las curvas (v�ase el cuadro abajo).