ecuaciones diferenciales

Din�mica de poblaciones

Aqu� est�n algunas preguntas naturales relacionadas con los problemas de la poblaci�n:

• �Cu�l ser� la poblaci�n de cierto pa�s dentro de diez a�os?
• �C�mo estamos protegiendo los recursos contra la extinci�n?

Puede ser dicho m�s sobre el problema pero, en esta peque�a revisi�n que no los discutiremos detalladamente. Para ilustrar el uso de ecuaciones diferenciales con respecto a este problema consideramos el modelo matem�tico m�s f�cil ofrecido para gobernar la din�mica de la poblaci�n de cierta especie. Com�nmente se llama el modelo exponencial , es decir, el �ndice del cambio de la poblaci�n es proporcional a la poblaci�n existente. Es decir si P (t) mide a poblaci�n, tenemos
,
donde  k es el �ndice de crecimiento. Es bastante f�cil ver que si k > 0, tenemos crecimiento, y si k < 0, disminuir� la poblaci�n. �sta es una ecuaci�n lineal con soluciona
,
donde  est� la poblaci�n inicial, es decir.  . Por lo tanto, concluimos lo siguiente:

• si k > 0, la poblaci�n crece y contin�a ampli�ndose al infinito, es decir,
  
• si k < 0,  la poblaci�n disminuye y tiende a 0, o sea, se extingue.

Claramente, el primer caso, k > 0, no es real, con lo que el modelo no es bueno. Deben considerarse ciertas limitaciones ambientales. La complicaci�n es que el crecimiento de la poblaci�n es limitado eventualmente por un cierto factor, generalmente por los recursos esenciales. Cuando una poblaci�n est� lejos de sus l�mites del crecimiento puede crecer exponencialmente. Sin embargo, al acercarnos al l�mite, el modelo no representa la realidad.
Otro modelo fue propuesto para remediar este defecto del modelo exponencial. Se llama el modelo log�stico (tambi�n llamado modelo de Verhulst-Verhulst-Pearl ). La ecuaci�n diferencial para este modelo es
,
donde tenemos un tama�o M limitador para la poblaci�n (tambi�n llamada la capacidad de carga). Claramente, cuando P es peque�o comparado a M , la ecuaci�n reduce la exponencial. Para solucionar esta ecuaci�n reconocemos una ecuaci�n no lineal que sea separable. Las soluciones constantes son P = 0 y P = M . Las soluciones no-constantes pueden ser obtenidas separando las variables
,
e integrando

As�
,
lo cu�l da

Las manipulaciones algebraicas f�ciles dan

donde nos queda una constante C. Solucionando para P , conseguimos

Si consideramos la condici�n inicial  (se asume que  no es igual a 0 o M), conseguimos
,
lo cu�l, substituido una vez en la expresi�n para P (t) y simplificado, nos da

Es f�cil ver que

Din�mica de poblaciones: Ejemplo 2

Ejemplo: Sea P (t)  la poblaci�n de cierta especie animal. Asumamos que P (t) satisface la ecuaci�n log�stica del crecimiento

1.

�Es la ecuaci�n diferencial separable?

2.

�Es la ecuaci�n diferencial aut�noma?

3.

�Es la ecuaci�n diferencial lineal?

4.

Sin solucionar la ecuaci�n diferencial, d� un bosquejo del gr�fico de P (t).

5.

�Cu�l es el comportamiento a largo plazo de la poblaci�n P(t)?

6.

Demuestre que la soluci�n es de la forma
Encuentre A y B .
Pista: Utilice la condici�n inicial y el resultado de 5.

7.

�D�nde tiene la soluci�n un punto de la inflexi�n?
Pista: Esto se puede hacer sin usar la respuesta de 6.

8.

�Se puede destacar algo sobre el �ndice de crecimiento de la poblaci�n P (t) en el punto de la inflexi�n (encontrado en 7)?

Respuestas:

1.

Esta ecuaci�n diferencial es aut�noma, es decir la variable t falta. Por lo tanto, esta ecuaci�n es de hecho separable.

2.

�La respuesta es s�! (v�ase 1.) Cada ecuaci�n diferencial aut�noma es separable.

3.

La ecuaci�n no es lineal debido a la presencia de  .

4.

El gr�fico de la soluci�n P (t) es como sigue:

 

5.

Claramente, debido a la condici�n inicial (v�ase el gr�fico de la soluci�n abajo), tenemos,
200 que son la capacidad de carga.

6.

Solucionemos esta ecuaci�n (utilice la t�cnica para solucionar ecuaciones separables). Primero, buscamos las soluciones constantes (los puntos del equilibrio o puntos cr�ticos). Tenemos
Entonces, las soluciones no-constantes pueden ser generadas separando las variables
,
e integrando
.
conseguimos
,
o cu�l da

Por lo tanto, tenemos
.
Las manipulaciones algebraicas f�ciles dan
,
donde  .
Por lo tanto, todas las soluciones son

donde C es un par�metro.

Observaci�n: Podemos reescribir las soluciones no-constantes como
,
donde est�n dos par�metros a y B. Si utilizamos las condiciones

podremos conseguir la soluci�n deseada. De hecho, tenemos

As�,  y por lo tanto  .

7.

Del gr�fico (v�ase 4.), el gr�fico de P (t) tiene un punto de la inflexi�n entre 0 y 200. Encontr�moslo. Puesto que debemos tener P ' ' (t) = 0, conseguimos,
donde hemos utilizado que   . Puesto que nuestra soluci�n no es una de las dos soluciones constantes nos dejan solamente con la ecuaci�n

Esto se simplifica
,
lo cu�l da P = 100 (a medio camino entre 0 y 200).

8.

El �ndice de crecimiento en t = 100 es m�ximo.