ecuaciones diferenciales

Valores propios reales: Ejemplo 3

Ejemplo: Considere un oscilador arm�nico para el cual la ecuaci�n diferencial est�
,
y suponga esa masa m = 1, la constante que humedece , y la constante del resorte . Reescriba esta ecuaci�n como sistema linear de ecuaciones diferenciales. Soluci�nelo, despu�s encuentre la soluci�n particular que satisface las condiciones iniciales


Respuesta. Fije v = y '. Entonces tenemos

Esto nos da el sistema

cu�l en forma de la matriz se puede reescribir como

donde

Para solucionar este sistema, necesitamos la ecuaci�n caracter�stica

Sus ra�ces son dadas por los f�rmulas cuadr�ticos

�Observe que usted tiene que tener muy cuidado aqu� puesto que cualquier error en encontrar correctamente las ra�ces generar� errores lejos m�s grandes y la cintura del tiempo!!
Necesitamos despu�s encontrar los vectores propios asociados.

 

Caso  . Denote por  el vector propio asociado. El dar del sistema  es
Desde entonces

(que usted debe comprobar como ejercicio), entonces las dos ecuaciones son id�nticas. Por lo tanto tomamos  . Si elegimos  , conseguimos

 

Caso  . Los c�lculos similares dan el vector propio asociado

Por lo tanto la soluci�n general se da cerca

donde  y  est�n dos par�metros.

De la ecuaci�n antedicha que da Y , podemos encontrar la soluci�n y a nuestra segunda ecuaci�n diferencial como

Nos casi hacen excepto que necesitamos encontrar la soluci�n espec�fica que satisface la condici�n inicial

Estas dos condiciones implican

La segunda ecuaci�n da

puesto que  , conseguimos  que implica  . Por lo tanto tenemos


cu�l implica

y

cu�l rinde

Valores propios reales: Ejemplo 4

Ejemplo: Considere el sistema linear
.
Encuentre el coeficiente de la matriz del sistema. Entonces, discuta el sino del comportamiento a largo plazo de las soluciones. Si van al infinito, discuta c�mo.
Respuesta: El coeficiente de la matriz del sistema es
.
�Observe que si usted tiene el coeficiente incorrecto de la matriz la conclusi�n sobre las soluciones puede diferenciar totalmente de la respuesta derecha!
Para encontrar la soluci�n general necesitamos la ecuaci�n caracter�stica
.
Sus ra�ces son dadas por los f�rmulas cuadr�ticos
,
cu�l da  o  . Despu�s, necesitamos encontrar los vectores propios asociados.

 

Caso . Denote por  el vector propio asociado. El dar del sistema  es.
Las dos ecuaciones conducen a la misma ecuaci�n  . Si elegimos  , conseguimos
.

 

Caso . Denote cerca , el vector propio asociado. El dar del sistema  es
La segunda ecuaci�n es sin valor y primera implica  . Si elegimos  , conseguimos
.

Por lo tanto, la soluci�n general se da cerca
,
donde  y  est�n dos par�metros.

Sabemos que puesto que el sistema tiene un valor propio positivo las soluciones tender�n al infinito como t va a  . Tambi�n sabemos que las soluciones conseguir�n cada vez m�s cerca de la soluci�n rectil�nea que corresponde a los valores propios m�s grandes. En este caso, la l�nea generada por el vector
,
est� claramente el eje X. Vea el gr�fico abajo.