ecuaciones diferenciales

Valores propios reales: Ejemplo 2

Ejemplo: Considere el oscilador arm�nico con constante del resorte  , humedeciendo constante , y la masa m = 1.

(1)

Anote la segunda ecuaci�n de la orden que gobierna este sistema f�sico. Utilice la letra y para la dislocaci�n del resorte de su posici�n de resto.

(2)

Convierta esta ecuaci�n en un sistema linear de las ecuaciones diferenciales de la primera orden.

(3)

Solucione el sistema.

(4)

Encuentre la soluci�n particular que satisface las condiciones iniciales

(5)

Discuta el comportamiento a largo plazo del sistema. �Era esta conclusi�n probable?

Respuesta:

(1)

La ecuaci�n diferencial es.
Usando los valores para las constantes, conseguimos
.

(2)

Fije y ' = v , entonces nosotros tienen.
Por lo tanto, tenemos el sistema
;

(3)

Para solucionar el sistema antedicho, primero necesitamos encontrar los valores propios del sistema. Observe que es el coeficiente de la matriz.
La ecuaci�n caracter�stica se da cerca
.
Sus ra�ces son
,
cu�l da

Para cada valor propio, necesitamos encontrar un vector propio.

•  . Deje V ser un vector propio asociado tales que.
  El vector V debe satisfacer el sistema de ecuaciones algebraicas
  
  Claramente, las dos ecuaciones reducen a la misma ecuaci�n
  .
  Por lo tanto, tenemos
  .
  Elegimos
  .
  
•  . Deje V ser un vector propio asociado tales que,.
  El vector V debe satisfacer el sistema de ecuaciones algebraicas
  
  Claramente, las dos ecuaciones reducen a la misma ecuaci�n
  .
  Por lo tanto, tenemos
  .
  Elegimos
  .
  

Somos listos ahora anotar la soluci�n general
,
donde
.

(4)

Para encontrar la soluci�n al sistema arm�nico del oscilador que satisface las condiciones y ( 0) = 0 de la inicial y a y ' (0)=1, necesitamos la soluci�n general que da y . De la soluci�n general al sistema conseguimos,
y  . La ecuaci�n que da v es obvia y se puede obtener de y puesto que v = y ' (usted puede desear comprobar que no incurri�ramos en ninguna equivocaciones). Las condiciones iniciales implican

Solucion�ndolo conseguimos
.
Por lo tanto, la soluci�n es

(5)

El comportamiento a largo plazo de la soluci�n es obvio ahora desde entonces,
significando que el sistema tiende a su posici�n de resto. Observe que puesto que los valores propios son ambos negativa, estaba clara del principio que la soluci�n tender� a su posici�n �nica del equilibrio.