ecuaciones diferenciales

Valores propios Repetidos

Considere el sistema homog�neo lineal

Para encontrar los valores propios para considerar el polinomio caracter�stico

En esta secci�n, consideramos el caso cuando la ecuaci�n cuadr�tica antedicha tiene ra�z verdadera doble (que sea si  ) que es la ra�z doble (valor propio)

En este caso, sabemos que el sistema diferenciado tiene la soluci�n rectil�nea

donde  est� un vector propio asociado al valor propio  . Tambi�n sabemos que ser� la soluci�n general (que describe todas las soluciones) del sistema

donde  est� otra soluci�n del sistema que es lineal independiente de la soluci�n rectil�nea  . Por lo tanto, el problema en este caso es encontrar  .

B�squeda para una segunda soluci�n. 

Utilicemos la notaci�n del vector. El sistema ser� escrito como

donde est� el coeficiente A de la matriz del sistema. Escriba

La idea detr�s de encontrar una segunda soluci�n  , lineal independiente de  , es buscarla como

donde  est� un cierto vector todav�a que se encontrar�. Desde entonces

y

(donde utilizamos  ), entonces (porque  es una soluci�n del sistema) debemos tener

Simplificai�n, obtenemos

o

Esta ecuaci�n nos ayudar� a encontrar el vector  . Observe que el vector  ser� autom�ticamente lineal independiente de  (porqu�?). Esto ayudar� a establecer la independencia lineal de  de  .

Ejemplo. Encuentre dos lineal soluciones independientes al sistema lineal

Respuesta. El coeficiente de la matriz del sistema es

Para encontrar los valores propios para considerar el polinomio caracter�stico

Puesto que  , tenemos un valor propio repetido igual a 2. Encontremos el vector propio asociado  . Fije

Entonces debemos tener  a que traduce

Esto reduce a y = 0. Por lo tanto podemos tomar

Buscamos despu�s el segundo vector  . La ecuaci�n que da este vector es  cu�l traduce al sistema algebraico

donde

Tenemos claramente y = 1 y x se puede elegir para ser cualquier n�mero. Tomamos tan x = 0 por ejemplo a conseguir

Por lo tanto las dos soluciones independientes est�n

La soluci�n general entonces estar�


An�lisis cualitativo de sistemas con valores propios repetidos 

Recuerde que la soluci�n general en este caso tiene la forma

donde  est� el valor propio doble y  es el vector propio asociado. Centr�mosnos en el comportamiento de las soluciones cuando  (significando el futuro). Tenemos dos casos

Si  , entonces tenemos claramente
En este caso, el punto del equilibrio (0.0) es un fregadero. Por otra parte, cuando t es grande, tenemos

Las soluciones tienden tan a la tangente del punto del equilibrio a la soluci�n rectil�nea. La nota  es decir, entonces la soluci�n es la soluci�n rectil�nea que todav�a tiende al punto del equilibrio.

Si  , entonces Y (t) tiende al infinito como , excepto por supuesto la soluci�n constante. Observe otra vez eso si  , despu�s nos estamos moviendo a lo largo de la soluci�n rectil�nea.

Otro ejemplo del caso del valor propio repetido es dado por los osciladores arm�nicos.