T�cnicas Cualitativas: Campos de vectores

Una funci�n diferenciable -- y las soluciones a las ecuaciones diferenciales mejores sean diferenciables -- tiene l�neas de la tangente en cada punto. Vamos dibujar pedazos peque�os de algunas de estas l�neas de la tangente de la funci�n

Los campos de vectores (tambi�n llamados los campos de direcci�n) son una herramienta para obtener gr�ficamente las soluciones a una ecuaci�n diferencial de primer orden.
Considere el ejemplo siguiente:

Se determina la pendiente, y ' (x), de las soluciones y (x), una vez que sepamos los valores para x y y , e.g., si x = 1 y y = - 1, despu�s la pendiente de la soluci�n y (x) que pasa a trav�s del punto (1, -1) ser�

.
Si representamos y gr�ficamente (x) en el x - plano de y, tiene pendiente 2, dada x = 1 y y = - 1. Indicamos esto gr�ficamente insertando un segmento de l�nea peque�o en el punto (1, -1) de pendiente 2.

As�, la soluci�n de la ecuaci�n diferencial con la condici�n inicial y (1)=-1 parecer� similar a este segmento de l�nea mientras permanecemos cerca de x = - 1.
Por supuesto, hacer esto en apenas un punto no da mucha informaci�n sobre las soluciones. Deseamos hacer esto simult�neamente en muchos puntos en el x - plano de y.

Podemos conseguir una idea en cuanto a la forma de las soluciones de la ecuaci�n diferencial "conectando los puntos." Hasta ahora, hemos representado los peque�os pedazos gr�ficamente de las l�neas de la tangente de nuestras soluciones. �Las soluciones "verdaderas" no deben diferenciar mucho de esos pedazos de la l�nea de la tangente!

Ejemplo
Vamos considerar la ecuaci�n diferencial siguiente:

Aqu�, el lado derecho de la ecuaci�n diferencial depende solamente de la variable dependiente y , no de la variable independiente x . Una ecuaci�n tan diferencial se llama aut�noma . Las ecuaciones diferenciales aut�nomas son siempre separables.

Las ecuaciones diferenciales aut�nomas tienen una caracter�stica muy especial; sus campos son horizontalmente invariantes , es decir a lo largo de una l�nea horizontal la pendiente no var�a.
Vamos un ejemplo de la ecuaci�n log�stica que describe el crecimiento con un techo natural de la poblaci�n:

�Observe que esta ecuaci�n es tambi�n aut�noma!

Las soluciones de esta ecuaci�n log�stica tienen la forma siguiente:
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Como en el ejemplo anterior, consideramos la ecuaci�n diferencial no aut�noma

El campo de la cuesta parece levemente m�s complicado ahora.

Aqu� est� el mismo campo de la cuesta otra vez. �Cu�l es especial sobre los puntos en la par�bola roja?

Campos de vectores: Ejemplo

Ejemplo: Considere la ecuaci�n diferencial aut�noma

donde el gr�fico de f (y) se da cerca

1.: Bosqueje los campos de vectores de las pendientes de esta ecuaci�n diferencial.
(nota: el gr�fico de las soluciones y el gr�fico de f (y) son dos cosas muy diferentes)
2.: Bosqueje el gr�fico de la soluci�n al PVI
Encuentre el l�mite .
3.: Bosqueje el gr�fico de la soluci�n al PVI
Encuentre el l�mite .

Soluci�n:

1.

Puesto que no sabemos la funci�n f (y), podremos solamente bosquejar los campos de vectores de las pendientes. Esto nos dar� una idea sobre el comportamiento de las soluciones. Por lo tanto, debemos buscar las soluciones cr�ticas (dadas por las ra�ces de f ( y )=0), y la muestra de f (y) que dar� la variaci�n de las soluciones. Observe que debemos tener cuidados de no mezclarse entre el gr�fico de f (y) y de los gr�ficos de las soluciones y (t).
As� pues, seg�n el gr�fico de f (y), las soluciones cr�ticas est�n y = -1, y = 0, y y = 1. Usando la muestra de f (y), concluimos eso