domingo, 26 de abril de 2015

ecuaciones diferenciales



Ecuaciones De Bernoulli


Una ecuaci�n diferencial del tipo de Bernoulli se escribe como
displaymath49
Este tipo de ecuaci�n se soluciona v�a una substituci�n:
     tex2html_wrap_inline51
Entonces los c�lculos f�ciles dan
displaymath53
lo cu�l implica
displaymath55
Esto es una ecuaci�n lineal en la nueva variable v . Una vez que se solucione, usted obtendr� la funci�n  tex2html_wrap_inline59  .
Observe que si n > 1, despu�s tenemos que agregar la soluci�n y = 0 a las soluciones encontradas v�a la t�cnica descrita arriba.
Resumamos los pasos para seguir:
(1)
Reconozca que la ecuaci�n diferencial es una ecuaci�n de Bernoulli. Entonces encuentre el par�metro n de la ecuaci�n;
(2)
Substituya  tex2html_wrap_inline51  ;
(3)
Con la diferenciaci�n f�cil, encuentre la nueva ecuaci�n satisfecha por la nueva variable v .
Usted puede desear recordar la forma de la nueva ecuaci�n:displaymath55
(4)
Solucione la nueva ecuaci�n lineal para encontrar v ;
(5)
Vaya de nuevo a la vieja funci�n y a trav�s de la substituci�n  tex2html_wrap_inline59 ;
(6)
Si n > 1, agrega la soluci�n y = 0 a las usted obtuvo adentro (4).
(7)
Si usted tiene un PVI, utilice la condici�n inicial para encontrar la soluci�n particular.
Ejemplo: Encuentre todas las soluciones para
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Soluci�n: Realice los pasos siguientes:
 
(1)
Tenemos una ecuaci�n de Bernoulli con n = 3;
(2)
Considere la nueva funci�n  tex2html_wrap_inline87  ;
(3)
La nueva ecuaci�n satisfecha por v esdisplaymath91 ;
(4)
Esto es una ecuaci�n lineal:
 
4,1
el factor que integra es  tex2html_wrap_inline93
4,2
tenemos  tex2html_wrap_inline95
4,3
la soluci�n general se da cercadisplaymath97
5
De nuevo a la funci�n y : tenemos  tex2html_wrap_inline101  , que dadisplaymath103
6
Todas las soluciones est�n de la formadisplaymath105








Ecuaciones De Riccati


Antes de que demos la definici�n formal de las ecuaciones de Riccati , una poca introducci�n puede ser provechosa. De hecho, considere la primera orden ecuaci�n diferencial


\begin{displaymath}\frac{dy}{dx} = f(x,y).\end{displaymath}



Si aproximamos f ( x , y), mientras que x es constante guardada, conseguiremos


\begin{displaymath}f(x,y) = P(x) + Q(x) y + R(x) y^2 + \cdots\end{displaymath}



Si paramos en y , conseguiremos una ecuaci�n linear. Riccati miraba la aproximaci�n al segundo grado: �l consideraba las ecuaciones del tipo


\begin{displaymath}\frac{dy}{dx} = P(x) + Q(x) y + R(x) y^2.\end{displaymath}



Estas ecuaciones llevan su nombre, ecuaciones de Riccati . Son no lineales y no caen bajo categor�a de cualesquiera de las ecuaciones cl�sicas. Para solucionar una ecuaci�n de Riccati, una necesitar� una soluci�n particular. Sin saber por lo menos una soluci�n, no hay absolutamente ocasi�n de encontrar ningunas soluciones a tal ecuaci�n. De hecho, deje y 1 ser una soluci�n particular de


\begin{displaymath}\frac{dy}{dx} = P(x) + Q(x) y + R(x) y^2.\end{displaymath}



Considere la nueva funci�n z definida cerca


\begin{displaymath}z = \frac{1}{y - y_1}.\end{displaymath}



Entonces los c�lculos f�ciles dan


\begin{displaymath}\frac{dz}{dx} = -\Big(Q(x) + 2y_1 R(x)\Big) z - R(x)\end{displaymath}



cu�l es una ecuaci�n linear satisfecha por la nueva funci�n z . Una vez que se solucione, vamos de nuevo a y v�a la relaci�n


\begin{displaymath}y = y_1 + \frac{1}{z}.\end{displaymath}



Tenga presente que puede ser m�s duro recordar la ecuaci�n antedicha satisfecha por z . En lugar, intento para hacer los c�lculos siempre que usted pueda.

Ejemplo. Solucione la ecuaci�n


\begin{displaymath}\frac{dy}{dx} = -2 -y + y^2.\end{displaymath}



sabiendo que y 1 = 2 es una soluci�n particular.
Respuesta. Reconocemos una ecuaci�n de Riccati. Primero de todos necesitamos cerciorarnos de que y 1 sea de hecho una soluci�n. Si no, nuestros c�lculos ser�n infructuosos. En este caso particular, es absolutamente f�cil comprobar que y 1 = 2 es una soluci�n. Sistema


\begin{displaymath}z = \frac{1}{y - 2}.\end{displaymath}



Entonces tenemos


\begin{displaymath}y = 2 + \frac{1}{z}\end{displaymath}



cu�l implica


\begin{displaymath}y ' = - \frac{z'}{z^2}.\end{displaymath}



Por lo tanto, de la ecuaci�n satisfecha por y , conseguimos


\begin{displaymath}- \frac{z'}{z^2} = -2 -\left(2 + \frac{1}{z}\right)+ \left(2 + \frac{1}{z}\right)^2.\end{displaymath}



Las manipulaciones algebraicas f�ciles dan


\begin{displaymath}- \frac{z'}{z^2} = \frac{3}{z} + \frac{1}{z^2}.\end{displaymath}



Por lo tanto


z ' = -3 z -1.



Esto es una ecuaci�n linear . La soluci�n general se da cerca


\begin{displaymath}z = \frac{-1/3 e^{3x} + C}{e^{3x}} = -\frac{1}{3} + C e^{-3x}.\end{displaymath}



Por lo tanto, tenemos


\begin{displaymath}y = 2 + \frac{1}{\displaystyle-\frac{1}{3} + C e^{-3x}}.\end{displaymath}



Nota: Si uno recuerda la ecuaci�n satisfecha por z , despu�s las soluciones se pueden encontrar un pedacito m�s r�pido. De hecho en este ejemplo, tenemos P (x) = -2, Q (x) = -1, y R (x) = 1. Por lo tanto la ecuaci�n linear satisfecha por la nueva funci�n z , es


\begin{displaymath}\frac{dz}{dx} = -\Big(Q(x) + 2y_1 R(x)\Big) z - R(x) = -\Big(-1 + 4\Big) z - 1 = - 3 z - 1.\end{displaymath}




Ejemplo. Compruebe a que  $$y_1 = \sin(x)$  est� una soluci�n


\begin{displaymath}\frac{dy}{dx} = \frac{2 \cos^2(x) - \sin^2(x) + y^2}{2 \cos(x)}.\end{displaymath}



Entonces solucione el IVP


\begin{displaymath}\left\{\begin{array}{lll} \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac... ... - \sin^2(x) + y^2}{2 \cos(x)}\\ y(0) = -1 \end{array} \right.\end{displaymath}



Dejaremos a lector comprobar que  $\sin(x)$  es de hecho una soluci�n particular de las ecuaciones diferenciales dadas. Tambi�n reconocemos que la ecuaci�n est� de tipo de Riccati. Sistema


\begin{displaymath}z = \frac{1}{y - \sin(x)}\end{displaymath}



cu�l da


\begin{displaymath}y = \sin(x) + \frac{1}{z}.\end{displaymath}



Por lo tanto


\begin{displaymath}y' = \cos(x) - \frac{z'}{z^2}.\end{displaymath}



El substituir en la ecuaci�n da


\begin{displaymath}\cos(x) - \frac{z'}{z^2} = \frac{2 \cos^2(x) - \sin^2(x) + \left(\displaystyle \sin(x) + \frac{1}{z} \right)^2}{2 \cos(x)}.\end{displaymath}



Las manipulaciones algebraicas f�ciles dan


\begin{displaymath}- \frac{z'}{z^2} = \frac{\left(\displaystyle 2\sin(x) \frac{1... ...sin(x)}{\cos(x)} \frac{1}{z} + \frac{1}{2\cos(x)}\frac{1}{z^2}.\end{displaymath}



Por lo tanto


\begin{displaymath}z' = -\frac{\sin(x)}{\cos(x)} z - \frac{1}{2\cos(x)}.\end{displaymath}



�sta es la ecuaci�n linear satisfecha por z . El factor que integra es


\begin{displaymath}u(x) = e^{\displaystyle \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)}} = e^{-\ln(\cos(x))} = \frac{1}{\cos(x)} = \sec(x).\end{displaymath}



La soluci�n general es


\begin{displaymath}z = \frac{-1/2 \int \sec^2(x) dx + C}{u(x)} = \cos(x) \left(-\frac{1}{2} \tan(x) + C\right) = -\frac{1}{2} \sin(x) + C \cos(x).\end{displaymath}



Ahora es hora de ir de nuevo a la funci�n original y . Tenemos


\begin{displaymath}y = \sin(x) + \frac{1}{ \displaystyle -\frac{1}{2} \sin(x) + C \cos(x)}.\end{displaymath}



La condici�n inicial y (0) = -1 implica 1/ C = -1, o C = -1. Por lo tanto la soluci�n al IVP est�


\begin{displaymath}y = \sin(x) + \frac{1}{ \displaystyle -\frac{1}{2} \sin(x) - \cos(x)}.\end{displaymath}
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