ecuaciones diferenciales

Sistemas Lineales

La mayor�a de problemas verdaderos de la vida implican sistemas no lineales (el modelo de la despredador-presa es un tal ejemplo). Los sistemas no lineales son muy duros de solucionar expl�citamente, pero las t�cnicas cualitativas y num�ricas pueden ayudar a verter una cierta informaci�n sobre el comportamiento de las soluciones. Pero hay los ejemplos que son modelados por los sistemas lineares (el modelo de la resorte-masa es uno de ellos). Recuerde que un sistema linear de ecuaciones diferenciales est� dado como


Ejemplo: El Oscilador Arm�nico 
Esto es un modelo para el movimiento de la masa unido a un resorte. Deje x (t) ser la dislocaci�n (que es la posici�n de la masa de la posici�n del equilibrio o de la posici�n de resto). La ley del neutonio de mec�nicos da
,
donde  est� la aceleraci�n,  es la fuerza de restauraci�n proporcionada por el resorte,  es la fuerza que humedece, y F (t) es una fuerza externa que act�a en la masa (tal como un campo el�ctrico o un campo magn�tico por ejemplo). Esto es una ecuaci�n diferencial de la segunda orden. Puede ser traducida a un sistema del sistema diferenciado de la primera orden como

donde est� la velocidad v de la masa en el tiempo t . Tenemos claramente un sistema linear.
Definiciones:

 

Si f (t) = g (t) = 0, despu�s el sistema linear se llama homog�neo y reduce a
Si no, se llama no homog�neo.

 

a , b , c , d se llama los coeficientes del sistema. Si todas son constantes entonces el sistema se dice para ser linear con coeficientes constantes.

Claramente, podemos utilizar nuestro conocimiento anterior sobre los sistemas para los lineares. Por ejemplo, podemos asociar el campo de la direcci�n al sistema linear tambi�n.
Ejemplo: Dibuje el campo de la direcci�n del sistema


as� como algunas soluciones.
Respuesta. Debajo est� el campo de la direcci�n del sistema. Los vectores rojos simbolizan los vectores "largos", luz que los vectores azules simbolizan la c�mara lenta. El segundo cuadro tambi�n demuestra algunas soluciones t�picas. Las condiciones del valor inicial son indicadas por los puntos.

Representaciones del vector de soluciones Considere el sistema linear de ecuaciones diferenciales Este sistema se puede reescribir usando la matriz-notacio'n. De hecho, sistema , entonces el sistema antedicho es equivalente a la ecuaci�n matricial . Usando el producto de la matriz, conseguimos . La matriz se llama la matriz del coeficiente del sistema. Observe que los coeficientes de la matriz A pueden ser constantes o no. La funci�n del vector se llama el t�rmino no homog�neo. Observaci�n: Uno puede pensar que la ecuaci�n arriba es solamente v�lida para los sistemas lineares de dos ecuaciones. Sin embargo, �se no es el caso. Por ejemplo, considere el sistema linear Entonces, en la notaci�n matricial, el sistema es equivalente a , donde . Puntos del equilibrio de sistemas lineares homog�neos Considere el sistema linear homog�neo Los puntos del equilibrio son dados por las ecuaciones Claramente, x = 0 y y = 0 elasticidades una soluci�n trivial. Por lo tanto, la funci�n  da una soluci�n constante al sistema linear. La llamamos la soluci�n trivial. En general, los puntos del equilibrio son la intersecci�n entre dos l�neas. Puesto que las dos l�neas se intersecan, son iguales (si paralelo) o la intersecci�n se reduce a un punto. As� pues, el sistema de puntos del equilibrio es el hacha entera de la l�nea + por = 0, o el punto trivial (0.0). Esta conclusi�n se relaciona con el determinante del coeficiente de la matriz. De hecho, si no es igual a 0 (cero), despu�s tenemos un punto del equilibrio (el trivial). El Principio de linealidad Esto es puede ser la caracter�stica m�s importante para los sistemas lineales. Considere el sistema linear homog�neo , entonces   1. si Y (t) es una soluci�n y k es una constante, entonces k Y (t) es tambi�n una soluci�n; 2. si  y  son dos soluciones, entonces  son tambi�n una soluci�n. Esto implica claramente que si  y  es dos soluciones y  y  es dos constantes arbitrarias, entonces est� tambi�n una soluci�n. Esta conclusi�n tambi�n se conoce como el principio de la superposici�n . Claramente, del principio de la superposici�n, podemos generar el un mont�n de soluciones una vez que se sepan dos soluciones. La pregunta natural a pedir por lo tanto, es si hemos obtenido todas las soluciones. Para apreciar mejor este problema vamos considerar el ejemplo siguiente. Ejemplo: Considere el sistema linear Demuestre que cualquier soluci�n Y a este sistema est� dada como , donde , y  y  son dos constantes. Respuesta: Es f�cil comprobar eso de hecho  y  es soluciones al sistema dado. Deje Y ser cualquier soluci�n. Fije . Por el teorema de la unicidad y de la existencia, Y es la �nica soluci�n al IVP . Deje a nos encontrar  y  a tales que  . Si �ste es el caso, debemos tener , que da , cu�l implica Claramente, esto da . Considere la funci�n . El principio de las linealidades implica que  es una soluci�n. Y, desde entonces , el teorema de la unicidad y de la existencia implica eso en hecho  da la conclusi�n deseada. Observaci�n: Cuando usted mira el ejemplo antedicho usted notar� que qu� hizo el trabajo de la conclusi�n es que pod�amos solucionar el sistema algebraico y esto era posible porque los dos vectores sea linear independiente. En hecho, la conclusi�n antedicha es siempre v�lida siempre que tengamos una independencia linear alrededor. Teorema: La Soluci�n General Suponga  y  sea dos soluciones al sistema linear . Asuma que los vectores  y  sea linear independiente. Entonces, la soluci�n al PVI , se da cerca , para algunas constantes  y  . En este caso, la familia de dos-par�metros ,donde  y  est�n las constantes arbitrarias, se llaman la soluci�n general del sistema. Entonces, las dos soluciones  y  ser�an linear independientes.   Ejemplo: Considere el oscilador arm�nico undamped . Demuestre que cualquier soluci�n x est� dada cerca . Respuesta: Considere el sistema linear asociado Fije  . Observe que el segundo componente es justo el derivado de primer. Considere las dos funciones del vector Es f�cil comprobar que estas funciones de dos vectores est�n en soluciones del hecho al sistema dado. Tambi�n, usted puede comprobar que los dos vectores sea linear independiente. Por lo tanto, cualquier soluci�n Y del sistema se da cerca , donde  y  est�n dos constantes. Usando el primer componente de Y , vemos que cualquier soluci�n x (t) de la ecuaci�n est� dada cerca , donde  y  est�n dos constantes arbitrarias.