ecuaciones diferenciales

M�todo de coeficientes indeterminados: Ejemplo

Encuentre una soluci�n particular a la ecuaci�n

Soluci�n: Sigamos estos pasos:

(1)

Primero, notamos que se verifican las condiciones para poder utilizar el m�todo de coeficientes indeterminados.

(2)

Partimos la ecuaci�n en las tres ecuaciones siguientes:

(3)

La ra�z de la ecuaci�n caracter�stica  es r = - 1 y r = 4.

(4,1)

Soluci�n particular a la ecuaci�n (1):

 

Puesto que , y  , entonces , que no es una de las ra�ces. Entonces s = 0.

 

Se da la soluci�n particular como

 

Si lo sustituimos en la ecuaci�n (1), conseguimos,
lo cu�l implica A = -1/2, es decir,

(4,2)

Soluci�n particular a la ecuaci�n (2):

 

Puesto que , y  , entonces , que no es una de las ra�ces. Entonces s = 0.

 

Se da la soluci�n particular como

 

Si la sustituimos en la ecuaci�n (2), conseguimos,
lo cu�l implica

Es f�cil probar que , y , y as�

(4,3)

Soluci�n particular a la ecuaci�n (3):

 

Puesto que , y  , entonces  que es una de las ra�ces. Entonces s = 1.

 

Se da la soluci�n particular como

 

Si la sustituimos en la ecuaci�n (3), conseguimos,
lo cu�l implica , o sea

(5)

Una soluci�n particular a la ecuaci�n original es

M�todo de variaci�n de constantes

Este m�todo no becesita hip�tesis adicionales, pero depende fuertemente de las t�cnicas de integraci�n.
Considere la ecuaci�n

Para utilizar el m�todo de variaci�n de par�metros que necesitamos saber si  es un sistema fundamental de soluciones de la ecuaci�n homog�nea y ''+ p(x) y ' + q (x) y = 0. Sabemos que, en este caso, la soluci�n general de la ecuaci�n homog�nea asociada ser�
  . La idea del m�todo de variaci�n de par�metros es buscar una soluci�n particular, por ejemplo

donde  y  son funciones (las vamos variando). De aqu� procede el nombre del m�todo.
Las funciones  y  son soluciones al sistema
,
lo cu�l implica
,
de donde  es el wronskiano de  e . Por lo tanto, tenemos


Resumen: Resumamos los pasos a seguir en la aplicaci�n de este m�todo:

(1)

Ejemplo: Encuentre la soluci�n particular a

Soluci�n: Sigamos los pasos:

 

(1)

Un sistema de las soluciones fundamentales de la ecuaci�n y'' + y = 0 es  ;

(2)

Se da la soluci�n particular como

(3)

Tenemos el sistema ;

(4)

Solucionamos para  y  , y conseguimos
Usando t�cnicas de la integraci�n,
 ;

(5)

La soluci�n particular es:,
o