ecuaciones diferenciales

Ecuaciones Diferenciales lineales de orden superior: Introducci�n y resultados b�sicos

Consideremos la ecuaci�n
,
y su ecuaci�n homog�nea asociada

Propiedades principales:

 

(1)

Principio de la superposici�n 
Sean   soluciones de la ecuaci�n (H). Entonces, la funci�n
est� tambi�n soluci�n de la ecuaci�n (H). Esta soluci�n se llama una combinaci�n lineal de las funciones ;

(2)

La soluci�n general de la ecuaci�n (H) viene dada por
donde  son constantes arbitrarias y  son n soluciones de la ecuaci�n (H) tales que,

En este caso, diremos que  son linealmente independientes. La funci�n  se llama el wronskiano de  . Tenemos

Por lo tanto,  , para algun , si y solamente si,  para cualquier x ;

(3)

La soluci�n general de la ecuaci�n ( NH ) ser�
donde  son constantes arbitrarias,  son soluciones independientes de la ecuaci�n lineal homog�nea asociada (H), y  una soluci�n particular de ( NH ).

Ecuaciones Lineares Homog�neas con Coeficientes Constantes

Sea la e. d. lineal de orden n y coeficientes constantes

con  . Para generar n soluciones linealmente independientes necesitamos realizar los siguientes pasos:

 

(1)

Escriba la ecuaci�n caracter�stica
Entonces, busque las ra�ces. Estas ra�ces ser�n simples o m�ltiples.

(2)

Primer caso: Ra�z simple 
Sea r una ra�z simple de la ecuaci�n caracter�stica.

(2,1)

Si r es un n�mero real, la soluci�n est� generada por  ;

(2,2)

Si  es una ra�z compleja, entonces puesto que los coeficientes de la ecuaci�n caracter�stica son reales,  es tambi�n una ra�z. Las dos ra�ces generan las dos soluciones y ;

(3)

Segundo caso: Ra�z m�ltiple 
Sea r una ra�z de la ecuaci�n caracter�stica con multiplicidad m . Si r es un n�mero real, las m soluciones linealmente independientes vienen generadas por 
Si  es un n�mero complejo, entonces  es tambi�n una ra�z con multiplicidad m . Las dos ra�ces complejas generar�n 2m soluciones independientes

Teniendo en cuenta las propiedades de las soluciones, teemos n soluciones  . Por lo tanto, la soluci�n general de la ecuaci�n (H) viene dada por

Ejemplo: Encuentre la soluci�n general de

Soluci�n: Sigamos estos pasos:

(1)

Ecuaci�n caracter�stica
Sus ra�ces son los n�meros complejos

o sea,
;

(2)

Sistema independiente de soluciones

(2,1)

Las ra�ces complejas  y  generan las dos soluciones;

(2,2)

Las ra�ces complejas  y  generan las dos soluciones;

(3)

La soluci�n general es