ecuaciones diferenciales

Ecuaciones lineales homog�neas con coeficientes constantes

Una ecuaci�n homog�nea de segundo orden con coeficientes constantes tiene la forma general

donde  a , b y c son constantes. Este tipo de ecuaci�n es muy �til en muchos problemas aplicados (f�sica, ingenier�a el�ctrica, etc..). Resumamos los pasos para seguir para encontrar la soluci�n general:

(1)

Buscamos las soluciones de la ecuaci�n caracter�stica
Esto es   y       ;

(2)

Si  y  son n�meros reales distintos (o sea, si  ), entonces la soluci�n general es

(3)

Si  (si  ),  la soluci�n general es

(4)

Si  y  son n�meros complejos (si  ),  la soluci�n general es
donde
,
es decir,

Ejemplo: Encuentre la soluci�n al IVP

Soluci�n: Sigamos los pasos:

 

1

Ecuaci�n caracter�stica y sus ra�ces
Desde 4-8 = -4<0 align="middle" alt=" tex2html_wrap_inline114 " ces="" complejas="" height="24" img="" nbsp="" ra="" src="http://dv.ujaen.es/docencia/data/docencia/lm_data/lm_74449/4/4.6/img19.gif" tenemos="" width="47"> . Por lo tanto,  y  ;

2

Soluci�n general;

3

Para encontrar la soluci�n particular utilizamos las condiciones iniciales para determinar  y  . Primero, tenemos.
Puesto que  , conseguimos

De estas dos ecuaciones obtenemos que
,
lo cu�l implica

Ecuaciones diferenciales lineales no homog�neas de segundo orden

Vayamos de nuevo a las ecuaciones lineares de segundo orden no homog�neas

Recordemos que la soluci�n general est� dada por

donde  es una soluci�n particular de ( NH ) e  es la soluci�n general de la ecuaci�n homog�nea asociada

M�todo de los coeficientes indeterminados

Este m�todo se basa en una t�cnica que conjetura. Es decir, conjeturaremos la forma de  y despu�s la sustituiremos en la ecuaci�n para encontrarla. Sin embargo, este m�todo lo podremos emplear s�lo bajo las dos hip�tesis siguientes:

- Condici�n 1: las ecuaciones homog�neas asociadas tienen coeficientes constantes;

- Condici�n 2: el t�rmino non homog�neo g (x) es una forma especial
donde las funciones P (x) y L (x) son polin�micas.

Observe que podemos asumir que g (x) es una suma de tales funciones
Considere la ecuaci�n

donde a, b y c son constantes y

con   un polinomio de grado n . Entonces una soluci�n particular  ser�

con
,
donde las constantes  y  tienen que ser determinadas. La potencia s es igual a 0 si  no es una ra�z de la ecuaci�n caracter�stica. Si  es una ra�z simple, entonces s = 1, y s = 2 si es una ra�z doble.

Observaci�n: Si el t�rmino no homog�neo g (x) es de la forma

donde  son de la forma citada arriba, entonces partimos la ecuaci�n original en N  ecuaciones

buscamos una soluci�n particular  . Una soluci�n particular a la ecuaci�n original ser�

Resumen: Resumamos los pasos a seguir en la aplicaci�n de este m�todo:

(1)