ecuaciones diferenciales

Valores propios y t�cnica de los vectores propios

En esta secci�n discutiremos el problema de encontrar dos soluciones linealmente independientes para el sistema lineal homog�neo


Empezamos mostrando con un ejemplo la t�cnica a usar:
Ejemplo: Dibuje el campo de la direcci�n del sistema lineal


Respuesta: Lo que sigue es el campo de direcci�n:

Observaci�n: En el ejemplo anterior podemos ver que algunas soluciones son l�neas rectas. �Cu�ndo esto sucede?

Soluciones Rectil�neas

Considere el sistema lineal homog�neo (en notaci�n matricial)

Una soluci�n rectil�nea es una funci�n de la forma
,
donde  es un vector constante no igual al cero   . El vector  es el vector director de la l�nea en la cual la soluci�n vive. Tenga presente que las soluciones del sistema pueden describir la trayectoria de objetos m�viles. As� pues, en este caso, podemos pensar en �l como objeto que se mueve a lo largo de una l�nea recta.

Observaci�n: Observe que si Y (t) es una soluci�n rectil�nea, entonces  est� tambi�n una soluci�n rectilinea.
Claramente, tenemos
.
Por lo tanto, tenemos
.
Puesto que  y  son los vectores constantes, nosotros deducen que  es una funci�n constante. Den�tela cerca

Claramente, �sta es una ecuaci�n diferencial de la primera orden que es lineal tan bien como separable. Su soluci�n es
,
donde C es una constante arbitraria. As� pues, si existe una soluci�n rectil�nea, debe ser de la forma
,
con C constante arbitraria, e  un vector diferente a cero que satisface

Ilustremos las ideas antedichas con un ejemplo.

Ejemplo: Encuentre cualquier soluci�n rectil�nea al sistema


Respuesta: Primero, encontremos el vector constante

tales que  para alg�n  . Los c�mputos f�ciles dan

Tenemos dos casos:

 

Caso 1. Si  , entonces  (desde  no es el vector cero). La primera ecuaci�n da  ,  por lo tanto tenemos.
Podemos no hacer caso de la constante  (v�ase la observaci�n antedicha). Por lo tanto, la soluci�n

est� una soluci�n rectil�nea del sistema.

 

Caso 2. Si  , entonces de la segunda ecuaci�n conseguimos  . La primera ecuaci�n reduce a  , o equivalente  . Por lo tanto, tenemos.
Podemos no hacer caso otra vez de la constante  . Por lo tanto, la soluci�n

est� una soluci�n rectil�nea del sistema.

As� pues, hemos encontrado dos soluciones rectil�neas

�Son �stas las �nicas rectil�neas? La respuesta es: "s�," (ser� discutido m�s adelante).

Teorema: Soluciones Rectil�neas

Considere el sistema lineal homog�neo

Cualquier soluci�n rectil�nea ser� de la forma
,
donde  est� un vector constante diferente a cero que satisface

La constante  se llama un valor propio de la matriz A, e  se llama un vector propio asociado al valor propio  de la matriz A . Claramente, si  es un vector propio asociado a , despu�s  est� tambi�n un vector propio asociado a  . Nuestro siguiente objetivo es descubrir c�mo buscar los valores propios y los vectores propios de una matriz.

C�lculo de Valores propios

Considere la matriz

y asuma que  es un valor propio de A . Entonces all� debe existir un vector diferente a cero , tal que  . Esta ecuaci�n se puede reescribir como el sistema algebraico

cu�l es equivalente al sistema

Puesto que ambos  y  no pueden ser iguales a cero en el mismo tiempo, nosotros deben tener el determinante del sistema igual a cero. Es decir,
,
cu�l reduce a la ecuaci�n algebraica
.
Observe que la ecuaci�n antedicha es independiente del vector  . Esta ecuaci�n se llama el polinomio caracter�stico del sistema.

Ejemplo: Encuentre el polinomio caracter�stico y los valores propios de la matriz


Respuesta: El polinomio caracter�stico se da cerca
.
Esto es una ecuaci�n cuadr�tica. Sus solamente ra�ces son  y  . �stos son los valores propios de la matriz.

C�lculo de los vectores propios

Asuma  es un valor propio de la matriz A . Un vector propio  asociado a  es dado por la ecuaci�n matricial
.
Sistema . Entonces, la ecuaci�n matricial antedicha reduce al sistema algebraico

cu�l es equivalente al sistema

Desde  se sabe, �ste ahora es un sistema de dos ecuaciones y de dos desconocido. Usted debe tener presente que si  es un vector propio, despu�s  es tambi�n un vector propio.

Ejemplo: Considere la matriz
.
Encuentre todos los vectores propios asociados al valor propio  .

Respuesta: En el ejemplo antedicho que comprobamos eso en hecho  est� un valor propio de la matriz dada. Dejado  sea un vector propio asociado al valor propio  . Fije  . Entonces debemos tener

cu�l reduce a la �nica ecuaci�n
,
cu�l rinde  . Por lo tanto, tenemos

Observe que tenemos todos los vectores propios asociados al valor propio  .

Conclusi�n

Para encontrar la soluci�n rectil�neas al sistema lineal homog�neo
, realice los pasos siguientes:

 

Primero, buscamos los valores propios con el polinomio caracter�stico.
�sta es una ecuaci�n cuadr�tica que tiene dos ra�ces reales distintas, o  una ra�z real doble, o dos ra�ces complejas .

Una vez que un valor propio  se encuentre del polinomio caracter�stico, entonces buscamos los vectores propios  asociados a �l con la ecuaci�n matricial.
Si usted encuentra un par�metro descompuesto en factores delante de  , no habr� necesidad de guardarla;

Para un valor propio  y un vector propio asociado  , una soluci�n straight-line ser� dada cerca.