ecuaciones diferenciales

Ecuaciones Lineales no homog�neas

Sea la e. d. lineal no homog�nea

Hemos visto que la soluci�n general est� por
,
donde  est� una soluci�n particular e  es la soluci�n general de la ecuaci�n homog�nea asociada. Vamos a limitarnos a comentar el caso de coeficientes constantes

Usando la secci�n anterior, discutiremos c�mo encontrar la soluci�n general de la ecuaci�n homog�nea asociada

Por lo tanto, el �nico obst�culo restante es encontrar una soluci�n particular a ( NH ). En las ecuaciones diferenciales de segunda orden aprendimos los dos m�todos: M�todo indeterminado de los coeficientes y la variaci�n de par�metros . Estos dos m�todos siguen siendo v�lidos en el caso general.

M�todo de los coeficientes indeterminados

Como ocurre en el caso de orden dos, hemos de asumir dos condiciones. La primera la vamos a suponer, ya que vamos a considerar s�lo ecuaciones con coeficientes constantes.
La segunda condici�n implica que el t�rmino no homog�neo sea de la forma
,
donde  es un polinomio. Para un caso m�s general, vea la observaci�n abajo. Para conjeturar la forma de la soluci�n particular seguimos estos pasos:

(1)

Observaci�n: El m�todo de los coeficientes indeterminados puede ser usado tambi�n si
,
donde cada  es de la forma elemental descrita arriba.

Ejemplo: Encuentre una soluci�n particular de

Soluci�n: Sigamos estos pasos:

 

(1)

Ecuaci�n caracter�stica
Factorizando  . Por lo tanto, las ra�ces son 0.2.-2 y son todas simples.

(2)

Tenemos que partir la ecuaci�n en las dos ecuaciones siguientes:;

(3)

La soluci�n particular a la ecuaci�n (1):

(3,1)

Tenemos  que es una ra�z simple. Entonces s = 1;

(3,2)

La forma  para la soluci�n particular es,
donde hay que determinar A y B. Omitiremos el detalle de los c�lculos, hasta obtener A = -1/8 y B = 0. Por lo tanto, tenemos
;

(4)

La soluci�n particular a la ecuaci�n (2):

(4,1)

Tenemos  que no es una ra�z. Entonces s = 0;

(4,2)

La forma conjeturada para la soluci�n particular es
donde deben ser determinados A y B. Omitiremos el detalle de los c�lculos. Conseguimos A = 0 y B = - 3/5. Por lo tanto, tenemos
;

(5)

La soluci�n particular a la ecuaci�n original es

M�todo de variaci�n de constantes

Este m�todo es interesante siempre que el m�todo anterior no se aplique (cuando g (x) no es de la forma deseada). La idea general es similar a lo que hicimos para las ecuaciones lineares de segundo orden excepto. Describamos el caso general (los coeficientes constantes o no). Considere la ecuaci�n

Supongamos conocido un sistema de soluciones independientes  de la ecuaci�n homog�nea asociada. Entonces una soluci�n particular se puede encontrar como

donde las funciones  se pueden obtener del sistema siguiente:
.
El determinante de este sistema es el wronskiano de , que no es cero. Los f�rmulas de Cramer dar�n
,
donde W (x)  es el wronskiano  , y   es el determinante obtenido del wronskiano W substituyendo la i-�sima columna por el vector columna (0.0.,,.0.1). Por lo tanto, una soluci�n particular a la ecuaci�n ( NH ) es


Obs�rvese que si el  orden de la ecuaci�n no es alto, usted puede solucionar el sistema.
Ejemplo: Encuentre una soluci�n particular de

Soluci�n: Sigamos estos pasos:

 

(1)

Ecuaci�n caracter�stica
Puesto que  , son las ra�ces de la ecuaci�n caracter�stica  . Por lo tanto, un sistema de soluciones independientes es ;

(2)

Una soluci�n particular es , donde  son las soluciones del sistema;

(3)

La resoluci�n del sistema da
Despu�s de integra obtenemos
;

(4)