ecuaciones diferenciales

Valores propios reales

Considere el sistema homog�neo lineal

Para encontrar los valores propios, considere el polinomio caracter�stico
.
En esta secci�n consideraremos el caso de la ecuaci�n cuadr�tica arriba cuando tiene dos ra�ces reales distintas (es decir, si  ). Las ra�ces (valores propios) son
,
y
.
Aqu� sabemos que el sistema diferenciado tiene dos soluciones rectil�neas independientes
,
donde  (respectivamente  ) est� un vector propio asociado al valor propio  (respectivamente  ). Tambi�n sabemos que la soluci�n general (que describe todas las soluciones) al sistema tiene la forma
.
Tenga presente que  y  son dos vectores constantes.

Discutamos el comportamiento de las soluciones cuando  (significando el futuro) y cuando  (significando el pasado). Puesto que los valores propios son distintos, uno es m�s grande que el otro. Asuma que tenemos
.
Es f�cil ver que tenemos


Comportamiento cuando  

En este caso consideraremos la ecuaci�n
.
Entonces
,
(porque  ) entonces est� claro que cuando  , tenemos
.

Comportamiento cuando  

En este caso consideraremos la ecuaci�n

Entonces

(porque  ) entonces est� claro que cuando  , tenemos


Observaci�n: Puesto que los dos valores propios son n�meros verdaderos, tenemos tres casos a considerar dependiendo de sus muestras:

 

Caso 1: Ambos son positivos.
En este caso tenemos
,
signific�ndole que las soluciones emanan del origen (si usted va al pasado, morir� en el origen). Cuando  , Y (t) estalla.
En este caso el origen desempe�a el papel de una fuente . Claramente, el origen es el �nico punto del equilibrio.

 

Caso 2: Ambos valores propios son negativos.
En este caso tenemos
,
significando eso en el futuro las soluciones mueren en el origen. Cuando  , Y (t) estalla.
En este caso, el origen desempe�a el papel de un sumidero . Claramente, el origen es el �nico punto del equilibrio.

 

Caso 3: Los valores propios tienen diversas muestras.
En este caso, el origen se comporta como una silla de montar .

Observaci�n: Est� clara de las discusiones antedichas que uno puede decidir sobre las muestras de los valores propios apenas mirando algunas soluciones en el plano de la fase (que depende si tenemos una silla de montar, un fregadero o una fuente).

Ejemplo: Considere los tres planos de la fase y decida sobre la distribuci�n de los valores propios asociados.

Plano Fase I
Plano  Fase II
Plano Fase III

Respuesta:

 

Para el fase-plano I, el origen es una fuente. Por lo tanto, los dos valores propios son ambos positivos.

 

Para el fase-plano II, el origen es una silla de montar. Por lo tanto, los dos valores propios est�n enfrente de muestras.

 

Para el fase-plano III, el origen es un sumidero. Por lo tanto, los dos valores propios son negativos.

Ejemplo: Considere la ecuaci�n arm�nica del oscilador
.
Discuta el comportamiento del muelle

Respuesta: Primero, traduzca esta ecuaci�n al sistema
,
donde

El polinomio caracter�stico de este sistema es
.
Los valores propios son
.
Est� claro que ambos son negativos. Por lo tanto, el origen es un sumidero. Significando que, sin importar la condici�n inicial, la masa tender� siempre a su equilibrio, o resto, posici�n.
Observe que si V es un vector propio asociado al valor propio m�s grande  , despu�s todas las soluciones tienden a la tangente del origen a ese vector V . En este caso tenemos
.

Observaci�n: El caso cuando uno de los dos valores propios es cero ser� discutido en otra secci�n por separado.