ecuaciones diferenciales

Valores propios m�ltiples: ejemplo

Ejemplo. Considere el sistema

1.

Encuentre la soluci�n general.

2.

Encuentre la soluci�n que satisface la condici�n inicial

3.

Dibuje algunas soluciones en el fase-plano incluyendo la soluci�n encontrada en 2.

Respuesta. El coeficiente de la matriz del sistema es

Para encontrar los valores propios para considerar el polinomio caracter�stico

Puesto que  , tenemos un valor propio repetido igual a 3. Encontremos el vector propio asociado  . Fije

Entonces debemos tener  a que traduce

Esto reduce a y = x . Por lo tanto podemos tomar

Buscamos despu�s el segundo vector  . La ecuaci�n que da este vector es  cu�l traduce al sistema algebraico

donde

Las dos ecuaciones reducen claramente a la ecuaci�n y - x = 1 o y = 1 + x , donde x se puede elegir para ser cualquier n�mero. Tan si tomamos x = 0 por ejemplo, conseguimos

Por lo tanto las dos soluciones independientes est�n

La soluci�n general entonces estar�


Para encontrar la soluci�n que satisface la condici�n inicial

debemos tener

Esto implica  y  . Por lo tanto la soluci�n est�


El plano de la fase con algunas soluciones se da en el cuadro abajo:

Valores propios Complejos Considere el sistema homog�neo linear El polinomio caracter�stico es En esta secci�n, consideramos el caso cuando la ecuaci�n cuadr�tica antedicha tiene ra�ces complejas (que es si  ). Las ra�ces (valores propios) son donde En este caso, la dificultad miente con la definici�n de Para conseguir alrededor de esta dificultad utilizamos el f�rmula de Euler Por lo tanto, tenemos En este caso, el vector propio asociado  a la voluntad tiene componentes complejos. Ejemplo. Encuentre los valores propios y los vectores propios de la matriz Respuesta. El polinomio caracter�stico es Sus ra�ces son Sistema  . El vector propio asociado V es dado por la ecuaci�n  . Sistema La ecuaci�n  traduce a Puesto que  , entonces las dos ecuaciones son iguales (que deben haber esperado, usted ven porqu�?). Por lo tanto tenemos  que implica que es un vector propio Lo dejamos al lector para demostrar que para el valor propio  , el vector propio est� Vayamos de nuevo al sistema con valores propios complejos  . Observe eso si V , donde es un vector propio asociado a  , entonces el vector (donde  est� la conjugaci�n de v) es un vector propio asociado a  . Por otra parte, hemos visto eso son las soluciones. Observe que estas soluciones son funciones complejas. Para encontrar soluciones verdaderas, utilizamos las observaciones antedichas. Sistema entonces tenemos cu�l da Tenemos semejantemente Poniendo todo juntos conseguimos Esto implica claramente  donde Es f�cil ver que tenemos Puesto que la suma y la diferencia de soluciones conducen a otra soluci�n, entonces ambas  y  son soluciones del sistema. �stas son soluciones verdaderas. Es muy f�cil llegar hecho de que son linear independientes. Resumamos la t�cnica antedicha. Resumen (del caso complejo). Considere el sistema Anote el polinomio caracter�stico y encuentre sus ra�ces estamos asumiendo eso  . Observe que en este paso, usted necesita saber  y  . El error com�n es olvidarse de dividirse por 2. Encuentre un vector propio V asociado al valor propio  . Anote el vector propio como Dos soluciones independientes son dadas linear por los f�rmulas La soluci�n general es donde  y  est�n los n�meros arbitrarios. Observe que en este caso, tenemos Ejemplo. Considere el oscilador arm�nico Encuentre la soluci�n general usando la t�cnica del sistema. Respuesta. Primero reescribimos la segunda ecuaci�n de la orden en el sistema El coeficiente de la matriz de este sistema es Hemos encontrado ya los valores propios y los vectores propios de esta matriz. Los valores propios est�n de hecho Por lo tanto tenemos El vector propio asociado a  es Anotamos despu�s las dos linear soluciones independientes y La soluci�n general del sistema equivalente es o Debajo de nosotros dibujamos algunas soluciones. El aviso c�mo las soluciones tuercen en espiral y ti�en en el origen (v�ase la discusi�n abajo) Puesto que estamos buscando la soluci�n general de la ecuaci�n diferencial, consideramos solamente el primer componente. Por lo tanto tenemos Usted puede desear comprobar que el segundo componente sea justo el derivado de y . Debajo de nosotros dibujamos algunas soluciones para la ecuaci�n diferencial An�lisis cualitativo de sistemas con valores propios complejos.  Recuerde que en este caso, la soluci�n general est� dada cerca El comportamiento de las soluciones en el plano de la fase depende de la parte real  . De hecho, tenemos tres casos: el caso:  . Las soluciones tienden al origen (cuando  ) mientras que tuercen en espiral. En este caso, el punto del equilibrio se llama un fregadero espiral . El caso:  Las soluciones estallan o consiguen lejos del origen (cuando  ) mientras que tuercen en espiral. En este caso, el punto del equilibrio se llama una fuente espiral . El caso:  Las soluciones son peri�dicas. Esto significa que la trayectoria es curvas o ciclos cerrados. En este caso, el punto del equilibrio se llama un centro .