ecuaciones diferenciales

Valores propios Complejos: Ejemplo 1

Ejemplo: Solucione el problema del valor inicial


Respuesta: Primero, observe que es el coeficiente de la matriz

Despu�s, necesitamos encontrar los valores propios que se dan como ra�ces de la ecuaci�n caracter�stica

Esto es una ecuaci�n cuadr�tica. Sus ra�ces son dadas por los f�rmulas cuadr�ticos

Fije , y encuentre un vector propio asociado V . Fije

El vector V debe satisfacer la ecuaci�n
.
Esto es equivalente al sistema
.
De la ecuaci�n cuadr�tica conseguimos (cheque �l)
,
entonces tenemos

Esto implica claramente que las dos ecuaciones del sistema son iguales. Por lo tanto, utilizamos solamente el primer para conseguir

Por lo tanto, tenemos

Elija

Las soluciones independientes que generar�n la soluci�n general al sistema son las verdaderas y las partes imaginarias de la soluci�n compleja

Desde entonces
,
y
,
donde  , tenemos
,
donde
,
y

Por lo tanto, la soluci�n general es

La condici�n inicial  implica
,
cu�l da

Por lo tanto, la soluci�n particular deseada es
,
donde

Sistemas con cero como valor propio

Discutimos el caso del sistema con dos valores propios verdaderos distintos, valor propio (distinto a cero) repetido, y valores propios complejos. Pero no discutimos el caso cuando uno de los valores propios es cero. En hecho, es f�cil ver que sucede �ste si y solamente si tenemos m�s de un punto del equilibrio (que es (0.0)). En este caso, tendremos una l�nea de los puntos del equilibrio (el vector de la direcci�n para esta l�nea es el vector propio asociado al valor propio cero).

Ejemplo. Encuentre la soluci�n general a

Respuesta. El polinomio caracter�stico de este sistema es

cu�l reduce  . Los valores propios son  y  . Encontremos los vectores propios asociados.

Para  , fije
La ecuaci�n  traduce a

Las dos ecuaciones son iguales. Tenemos tan y = 2 x . Por lo tanto un vector propio est�

Para  , fije
La ecuaci�n  traduce a

Las dos ecuaciones son iguales (que - x - y = 0). Tenemos tan y = - x . Por lo tanto un vector propio est�

Por lo tanto la soluci�n general est�

Observe que todas las soluciones son l�nea paralela al vector  . Cuando  , la trayectoria va al infinito. Pero cuando  , la trayectoria converge al punto del equilibrio en la l�nea de los puntos del equilibrio (que est� pasando cerca (0.0) y est� teniendo  como vector de la direcci�n). El cuadro abajo explica m�s qu� est� sucediendo.


El caso general es muy similar a este ejemplo. De hecho, asuma que un sistema tiene 0 y  como valores propios. Por lo tanto si  es un vector propio asociado a 0 y  un vector propio asociado a  , entonces la soluci�n general est�

Tenemos dos casos, si  o  .

Si  , entonces  est� un punto del equilibrio.

Si  , entonces la soluci�n es una l�nea paralela al vector  . Por otra parte, tenemos cuando 

si  , la soluci�n tiende lejos de la l�nea del equilibrio;

si  , la soluci�n tiende al punto del equilibrio  a lo largo de una l�nea paralela a  .