física - óptica

En física, se denomina campo de luz a la función que describe la cantidad de luz que viaja en cada dirección en cada punto del espacio. Michael Faraday en su trabajo"Thoughts on Ray Vibrations" de 1846 fue el primero en proponer que la luz debería ser interpretada como un campo, muy similar a los campos magnéticos con los cuales había estado trabajando desde hacía años.¹ El primero en acuñar el término "campo de luz" fue Alexander Gershun en su trabajo "The light field" de 1939.²

Los campos de luz son una forma fundamental de representar a la luz. Por lo tanto, hay muchas maneras de crear campos del luz, así como instrumentos para capturarlos y programas de computadora capaces de crear imágenes a partir de estos.³

En computación gráfica, los campos de luz son producidos a partir de modelos 3D o bien a través de la fotografía de una escena real. En cualquier caso, para producir un campo de luz, se deben obtener varias vistas a partir de varios puntos de la escena. Dependiendo de la parametrización utilizada, el conjunto de puntos pueden formar parte de una línea, plano, esfera u otra forma geométrica, a pesar de que también es posible hacerlo a partir de una colección de puntos no estructurados.⁴

Los dispositivos utilizados para capturar campos de luz de manera fotográfica pueden incluir: una cámara en movimiento, una cámara robóticamente controlada,⁵ un arco de cámaras (como el utilizado en la película The Matrix para generar el efecto de bullet time), un arreglo denso de cámaras,^6 7 8 un microscopio,⁹ o un sistema óptico en el cual se posiciona un arreglo de microlentes en el camino óptico. La mayor captura de un campo de luz registrada a la fecha le corresponde a la estátua "Noche" de Miguel Ángel, ubicada en la capilla de los Médici, formada por 24000 imágenes de 1.3 megapixeles.

En computación gráfica, algunas de las aplicaciones típicas de los campos de luz son:

• Ingeniería en iluminación: La razón original de Alexander Gershun para estudiar los campos de luz fue la de poder predecir los patrones de luz que podrían observarse en las superficies cuando éstas son iluminadas a partir de varias fuentes de distintas formas.
• Renderización de campos de luz: Al extraer cortes bidimensionales de un campo de luz cuatridimensional se pueden generar vistas particulares de la escena. Dependiendo de la parametrización del campo de luz y los cortes, las vistas pueden ser perspectivas, ortográficas, u otro tipo de proyección.
• Fotografía de apertura sintética: a partir de la integración de un subconjunto de las muestras capturadas en un campo de luz, se podría aproximar la vista que se podría obtener a partir de una cámara con una apertura finita, obteniendo una profundidad de campo variable. Si se utiliza una cámara de mano para realizar esto, se podría obtener una fotografía cuyas imágenes podrían ser enfocadas después de ser tomadas.¹¹
• Pantallas 3D: Al presentar un campo de luz utilizando una tecnología que represente cada muestra como fue tomada en el espacio físico, se obtendrían imágenes con un efecto autoestereoscópico similar al de observar la escena real.

Las cámaras de campo de luz ya existían antes, pero se habían limitado a usos industriales y nunca fueron lo suficientemente baratas para los consumidores. El fundador de Lytro, Ren Ng, que trabajó en la tecnología de campo de luz para su tesis doctoral en la Universidad de Stanford (Estados Unidos), logró reducir el precio de este modelo mediante la simplificación del diseño. En lugar de utilizar múltiples lentes, razón por la cual las cámaras de campo de luz anteriores han sido más caras y delicadas, Ng reveló que con el uso de una película de plástico de bajo coste con microlentes pequeñas grabadas y colocada sobre un sensor digital normal se lograba detectar la dirección de la luz entrante.

Reenfocar las imágenes después de tomarlas es solo el comienzo de lo que las cámaras Lytro serán capaces de hacer. Una actualización de software descargable y disponible muy pronto permitirá capturar todo en una foto con un enfoque nítido, independientemente de su distancia de la lente, algo que resulta prácticamente imposible con una cámara convencional. Otra actualización prevista para este año utilizará los datos de una instantánea Lytro para crear una imagen en 3D. Ng también está explorando una cámara de vídeo que podría ser enfocada después de usarla, dando a las películas caseras un empujón muy necesario en cuanto a valores de producción.

La imágenes de las cámaras Lytro se pueden compartir en sitios web y Facebook para que otras personas experimenten y cambien el enfoque, explorando lo que capturó el fotógrafo. Este tipo de flexibilidad es tan atractiva -según señala Ng- que "en el futuro, todas las cámaras serán de campo de luz".

En óptica, una cáustica es la envolvente de los rayos de luz reflejados o refractados por una superficie curva u objeto, o la proyección de esa envolvente de rayos en otra superficie. El término cáustica puede también referirse a la curva en la cual los rayos de luz sontangentes, determinando una frontera de la envolvente de rayos como una curva de luz concentrada. Por lo tanto en la imagen de la derecha, las cáusticas pueden ser los trozos de luz o sus bordes brillantes. Estas formas normalmente tienen puntos singulares cúspide.

Cáustica en forma de nefroide en el fondo de una taza de té.

La cardioide aparece como envolvente de los rayos de luz reflejados por una circunferencia cuando el foco de la luz está en el borde.

Cáusticas en la naturaleza.

Estas concentraciones de luz, especialmente de luz solar, pueden llegar a quemar. La palabra cáustica proviene del griego καυστός, quemar, a través del latín, causticus, quemando. Una situación común donde se pueden observar cáusticas en cuando la luz brilla a través de un vaso de bebida. El vaso proyecta una sombra, pero también produce una región curva de luz brillante. En circunstancias ideales (rayos perfectamente paralelos, de un origen en el infinito) debería producirse un trozo de luz en forma de nefroide[1]. Las cáusticas por ondas se forman comúnmente cuando la luz brilla a través de las olas de un volumen de agua.

Imagen generada por ordenador mostrando iluminación con cáusticas.

En los gráficos por ordenador, la mayoría de sistemas de representación pueden simular cáusticas. Algunos de ellos incluso pueden simular cáusticas volumétricas. La simulación se consigue trazando rayos en los posibles caminos del haz de luz a través del cristal, teniendo en cuenta la refracción y la reflexión. El mapeado de fotones es una implementación de este proceso.

El índice de refracción n no es constante, sino que depende de la longitud de onda o de la frecuencia de la luz con la que se ilumina la lente.

Por ejemplo, el índice de refracción del vidrio denominado “corona pesado” para las longitudes de onda del espectro visible, se proporcionan en la siguiente tabla.

Longitud de onda, nm	Indice de refracción
670.8	1.6434
643.8	1.6453
589.3	1.6499
486.4	1.6637
404.7	1.6852

Fuente: Koshkin N. I., Shirkévich M. G.. Manual de Física Elemental. Editorial Mir 1975. pág. 210

En la figura, se muestra los datos de la tabla representados por puntos de color rojo y el polinomio de tercer grado, en color azul, que mejor ajusta a dichos datos.

n=2.0990-1.9446·10^-3·λ+2.8756·10^-6·λ² -1.4745·10^-9·λ³

Propagación de un rayo de luz

Un rayo de luz monocromática de longitud de onda λ paralelo al eje X incide en una lente esférica de radio R. El rayo incide en la dirección normal y no se desvía, llega al punto P de la superficie esférica de separación entre la lente y el aire, su ángulo de incidencia es α, el ángulo de refracción es β. Aplicamos la ley de Snell

n·sinα=sinβ

n es el índice de refracción de la lente para la longitud de onda λ. El índice de refracción del aire es la unidad.

Vamos a calcular la posición de la intersección F del rayo refractado con el eje de simetría X, es decir, la distancia f del punto F al punto O.

De acuerdo con la geometría del problema

sinα=hR  d=R−R2−h2−−−−−−−√sinβ=sin(π2+α−γ)=sin(π2−(γ−α))=cos(γ−α)sinβ=cosγcosα+sinγsinαnsinα=h(f+d)2+h2√cosα+f+d(f+d)2+h2√sinαnhR=h(f+d)2+h2√R2−h2√R+f+d(f+d)2+h2√hRn(f+d)2+h2−−−−−−−−−−−√=R2−h2−−−−−−−√+f+d

Elevamos ambos miembros al cuadrado y despejamos f en función de h

f=nR2−n2h2−−−−−−−−√−(n2−1)R+n2R2−h2−−−−−−−√n2−1

Aproximación paraxial se obtiene cuando h→0

f0=Rn−1

f₀ no depende de h, esto quiere decir que todos los rayos paralelos al eje convergen en el mismo punto F₀denominado foco.

El ángulo α y por tanto h tienen un valor límite, aquél que hace que β=90º.

n⋅sinα=1  hlim=Rn

Para h>h_lim el rayo incidente no se refracta sino que experimenta una reflexión interna.

La expresión de f calculada anteriormente es válida para el intervalo (-h_lim, +h_lim). El valor máximo de h, h_máxde la lente con la experimentaremos al final de esta página cumple que h_maxlim

, de modo que todos los rayos incidentes se refractan.

La distancia focal mínima  f_min se obtiene cuando h=h_max. Y la distancia focal máxima, se obtiene cuando h→0, es decir, f₀, la distancia focal en la aproximación paraxial.

Cuando incide luz blanca sobre la lente esférica, las rayos monocromáticos (violeta, azul, verde, amarillo, naranja, rojo) experimentan desviaciones distintas, debido a que el índice de refracción de la lente cambia ligeramente con la longitud de onda. La mayor dispersión, separación de colores, se obtiene para h_max.

La superficie cáustica

Situamos el origen en el punto O. El rayo refractado pasa por los puntos P de coordenadas (-d, h) y el punto F (f, 0). La ecuación de la recta que pasa por estos dos puntos es

y=−hd+f(x−f)y=−hR−R2−h2√+f(x−f)

La envolvente de estas rectas se denomina cáustica y su ecuación se determina haciendo

∂y(x,h)∂h=0∂y(x,h)∂h=−(f+R−R2−h2√)−(∂f∂h+hR2−h2√)h(f+R−R2−h2√)2(x−f)−hf+R−R2−h2√(−∂f∂h)=0x=f+(∂f∂h)f+R−R2−h2√f+R−R2−h2√−h∂f∂h+hR2−h2√

No se puede obtener una ecuación explícita y=g(x) de la cáustica. Sus ecuaciones paramétricas dependiendo de h, o altura del rayo son:

y=−hR−R2−h2√+f(x−f)x=f+(∂f∂h)f+R−R2−h2√f+R−R2−h2√−h∂f∂h+hR2−h2√f=nR2−n2h2√−(n2−1)R+n2R2−h2√n2−1∂f∂h=−n2hn2−1(nR2−n2h2√+hR2−h2√)

La imagen que vemos en la figura más arriba nos dice que los rayos paralelos no convergen en el mismo punto F₀denominado foco. Si ponemos una pantalla después de la lente perpendicularmente al eje X en la posición x, observaremos una mancha de luz de radio finito.

El punto focal óptimo se define como el punto x₀ donde se tiene que colocar la pantalla para que se observe una mancha de radio mínimo y₀. Se obtiene de la intersección de la cáustica con el rayo procedente de –h_max, véase la figura más arriba.

Para ello, se determina el valor de h tal que la ordenada y de la cáustica y la ordenada del rayo trazado desde -h_max coinciden.

hR−R2−h2√+f(x−f)=−hmaxR−R2−h2max√+fmin(x−fmin)x=f+(∂f∂h)f+R−R2−h2√f+R−R2−h2√−h∂f∂h+hR2−h2√

f_min es la distancia focal mínima cuando h es máximo.

Como vemos en la figura, la cáustica decrece con x y la recta que sigue el rayo crece con x. Se intersecan en el punto (x₀, y₀). Los ejes X e Y se han trazado a distinta escala para que se pueda apreciar mejor la recta y la cáustica. El punto focal óptimo se encuentra en x₀ y el tamaño de la mancha de luz es un círculo de radio y₀.

Se aplica el procedimiento numérico del punto medio para obtener el valor de h₀ que hace que se cumpla la igualdad. Después se determina la abscisa x₀ y la ordenada y₀ en la ecuación de la cáustica.